Question

4．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c頂點(diǎn)x軸上，且過(guò)A（1，0），B（0，-2）兩點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)關(guān)系式；
（2）若直線(xiàn)y=-2與二次函數(shù)交于B，C兩點(diǎn)，求△ABC面積；
（3）在拋物線(xiàn)上是否存在P點(diǎn)，使△APC面積與△ABC的面積相等，若存在求P點(diǎn)坐標(biāo)若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由二次函數(shù)y=ax²+bx+c頂點(diǎn)x軸上，得到b²-4ac=0，再把A、B兩點(diǎn)代入拋物線(xiàn)解析式，列方程組即可解決問(wèn)題．
（2）列方程組求出B、C坐標(biāo)即可解決問(wèn)題．
（3）存在．如圖3中，過(guò)點(diǎn)B作BP∥AC交拋物線(xiàn)于P，點(diǎn)P就是滿(mǎn)足條件的點(diǎn)，求出直線(xiàn)BP的解析式，列方程組求出點(diǎn)P坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）由題意$\left\{\begin{array}{l}{^{2}-4ac=0}\\{a+b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=4}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的解析式為y=-2x²+4x-2．

（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2}\\{y=-2{x}^{2}+4x-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
不妨設(shè)B（0，-2），C（2，-2），如圖1中，

∵B、C兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，
∴BC∥x軸，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×2=2．

（3）存在．如圖3中，過(guò)點(diǎn)B作BP∥AC交拋物線(xiàn)于P．

∵PB∥AC，
∴S_△PAC=S_△ABC．
設(shè)直線(xiàn)AC解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{2k+b=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線(xiàn)AC解析式為y=-2x+2，
則直線(xiàn)PB的解析式為y=-2x-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-2}\\{y=-2{x}^{2}+4x-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-8}\end{array}\right.$，
∵點(diǎn)B坐標(biāo)（0，-2），∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（3，-8）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、平行線(xiàn)的性質(zhì)、兩直線(xiàn)平行k相同等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用平行線(xiàn)的性質(zhì)構(gòu)造面積相等的三角形，屬于中考�？碱}型．