Question

12．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B（m，n）且m、n滿足（m+2）²+|n+4|=0，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，平面內(nèi)有一點(diǎn)C，連接AC，AC∥y軸，且A、C兩點(diǎn)間的距離為6．
（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)線段AC與x軸有一交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)為M，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A沿線段AC向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，若P出發(fā)了t秒鐘，連接0P、BP，探究∠M0P、∠0PB、∠PBA的數(shù)量關(guān)系，并寫出t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)Q同時(shí)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA→AC運(yùn)動(dòng)（其中一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)），當(dāng)t為何值時(shí)，P、Q兩點(diǎn)路徑相距2個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，并求點(diǎn)O、B、P、Q構(gòu)成的四邊形面積．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得m=-2，n=-4，從而得到點(diǎn)B和點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)C點(diǎn)為（2，x），則|x-（-4）|=6從而可求得x=2或x=-10，故此可得到C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）或（2，-10）；
（2）如圖1所示：當(dāng)點(diǎn)P在線段AM上時(shí)，過點(diǎn)P作PD⊥y軸．先證明AB∥DP∥x軸，由平行線的性質(zhì)可得到∠OPB=∠MOP+∠PBA；如圖2所示，點(diǎn)P在線段CM上時(shí)，由三角形的外角的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可證明：∠OPB+∠MOP=∠PBA；
（3）由P、Q兩點(diǎn)路徑相距2個(gè)單位長(zhǎng)度可求得3t+2=4+t或3t-t=6，從而可解得：t=1或t=3，然后根據(jù)t=1或t=3畫出圖形，從而可求得四邊形OBPQ面積．

解答 解：（1）∵（m+2）²+|n+4|=0，
∴m=-2，n=-4．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，-4）．
∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，-4）．
又∵AC∥y軸，
∴點(diǎn)C橫坐標(biāo)與A點(diǎn)相同．
設(shè)C點(diǎn)為（2，x），則|x-（-4）|=6．
解得：x=2或x=-10．
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）或（2，-10）．
（2）如圖1所示：當(dāng)點(diǎn)P在線段AM上時(shí)，過點(diǎn)P作PD⊥y軸．

∵點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴BA⊥y．
∴AB∥DP∥x軸．
∴∠MOP=∠OPD，∠DPB=∠PBA．
∴∠OPB=∠MOP+∠PBA．
∵AM=4．
∴0≤t≤4．
如圖2所示，點(diǎn)P在線段CM上時(shí)．

由三角形的外角的性質(zhì)可知：∠OPB+∠MOP=∠PEM．
∵OM∥AB，
∴∠PEM=∠PBA．
∴∠OPB+∠MOP=∠PBA．
當(dāng)點(diǎn)P在MC上時(shí)，4＜t≤6．
綜上所述，當(dāng)0≤t≤4時(shí)，∠OPB=∠MOP+∠PBA；當(dāng)4＜t≤6時(shí)，∠OPB+∠MOP=∠PBA．
（3）∵P、Q兩點(diǎn)路徑相距2個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴3t+2=4+t或3t-t=6．
解得：t=1或t=3．
當(dāng)t=1時(shí)，如圖3所示：

根據(jù)題意可知：BQ=3，AP=1，PM=3，OM=2．
∴S_{四邊形OBQP}=S_梯形OMAB-S_△OMP-S_△PQA
=$\frac{1}{2}×（2+4）×4$-$\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×1×1$
=12-3-$\frac{1}{2}$
=8$\frac{1}{2}$．
當(dāng)t=3時(shí)，如圖4所示；

根據(jù)題意可知；PM=QM=1，PA=3，
∴S_△OQM=S_△OPM．
∴S_{四邊形OBQP}=S_梯形OBAM-S_△BAP=$\frac{1}{2}×（4+2）×4-\frac{1}{2}×4×3$=12-6=6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)、梯形、三角形的面積公式的應(yīng)用，求得t=1或t=3時(shí)P、Q兩點(diǎn)路徑相距2個(gè)單位長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．