Question

19．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，以BC為直徑的⊙O與AD相切，點E為AD的中點，下列結論正確的個數是（　�。�
（1）AB+CD=AD；
（2）S_△BCE=S_△ABE+S_△DCE；
（3）AB•CD=$\frac{1}{4}B{C}^{2}$；
（4）∠ABE=∠DCE．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 設AD和半圓⊙O相切的切點為F，連接OF，根據切線長定理以及相似三角形的判定和性質逐項分析即可．

解答 解：設AD和半圓⊙O相切的切點為F，
∵在直角梯形ABCD中AB∥CD，AB⊥BC，
∴∠ABC=∠DCB=90°，
∵AB為直徑，
∴AB，CD是圓的切線，
∵AD與以AB為直徑的⊙O相切，
∴AB=AF，CD=DF，
∴AD=AE+DE=AB+CD，故①正確；
如圖1，連接OE，
∵AE=DE，BO=CO，
∴OE∥AB∥CD，OE=$\frac{1}{2}$（AB+CD），
∴OE⊥BC，
∴S_△BCE=$\frac{1}{2}$BC•OE=$\frac{1}{2}BC$$•\frac{1}{2}$（AB+CD）=$\frac{1}{2}$$•\frac{1}{2}$（AB+CD）•BC=${\frac{1}{2}S}_{梯形ABCD}$=S_△ABE+S_△DCE，
故②正確；
如圖2，連接AO，OD，
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵AB，CD，AD是⊙O的切線，
∴∠OAD+∠EDO=$\frac{1}{2}$（∠BAD+∠ADC）=90°，
∴∠AOD=90°，
∴∠AOB+∠DOC=∠AOB+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠DOC，
∴△ABO∽△OCD，
∴$\frac{AB}{OC}=\frac{OB}{CD}$，
∴AB•CD=OB•OC=$\frac{1}{2}$BC$•\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{4}$BC²，故③正確，
如圖1，∵OB=OC，AE=DE
∴AB∥OE∥CD，
∴OE⊥BC，
∴BE=CE，
∴∠BEO=∠CEO，
∵AB∥OE∥CD，
∴∠ABE=∠BEO，∠DCE=∠OEC，
∴∠ABE=∠DCE，故④正確，
綜上可知正確的個數有4個，
故選D．

點評 本題考查了切線的判定和性質、相似三角形的判定與性質、直角三角形的判定與性質．解決本題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理、性質定理，做到靈活運用．