Question

6．如圖1，在△ABC中，AB=AC，AC⊥AB，過點(diǎn)C作AB的平行線m，取直線BC上一點(diǎn)P，連接AP，過P作AP的垂線，交直線m于點(diǎn)E，再過點(diǎn)P作BC的垂線，交直線AC于點(diǎn)F
（1）如圖1，點(diǎn)F在線段CA的延長線上時，求證：CF-CE=AC；
（2）如圖2，點(diǎn)F在線段CA的上時，AC、CE、CF三條線段的數(shù)量關(guān)系為CF+CE=AC；
（3）如圖3，點(diǎn)F在線段AC的延長線上時，AC、CE、CF三條線段有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明．

Answer 1

分析 （1）由圖象可知CF-AF=AC，要證明CF-CE=AC，只要證明利用全等三角形證明AF=CE即可．
（2）結(jié)論：CF+CE=AC，由圖象可知CF+AF=AC，要證明CF+CE=AC，只要證明AF=CE即可．
（3）結(jié)論：CE-CF=AC，由圖象可知AF-CF=AC，要證明CE-CF=AC．只要證明CE=AF即可．

解答 （1）證明：如圖1中，∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵AC⊥EC，
∴∠ACE=90°，
∴∠PCE=90°-∠ACB=45°，
∵FP⊥PC，
∴∠FPC=90°，
∴∠PFC=90°-∠FCP=45°，
∴∠PFC=∠PCF=45°，
∴PF=PC，
∵AP⊥PE，
∴∠APE=90°，
∴∠FPC=∠APE=90°，
∴∠FPA=∠CPE，
在△FPA和△CPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PFA=∠PCE}\\{PF=PC}\\{∠FPA=∠CPE}\end{array}\right.$，
∴△FPA≌△CPE，
∴AF=CE，
∴CF-CE=CF-AF=AC．
（2）如圖2中，結(jié)論：CF+CE=AC，理由如下：
解：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵AC⊥EC，
∴∠ACE=90°，
∴∠PCE=90°+∠ACB=135°
∵FP⊥PC，
∴∠FPC=90°，
∴∠PFC=90°-∠FCP=45°，
∠PFC=∠PCF=45°，
∴PF=PC，∠AFP=180°-∠PFC=135°=∠PCE，
∵AP⊥PE，
∴∠APE=90°，
∴∠FPC=∠APE=90°，
∴∠FPA=∠CPE
在△FPA和△CPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PFA=∠PCE}\\{PF=PC}\\{∠FPA=∠CPE}\end{array}\right.$，
∴△FPA≌△CPE，
∴AF=CE，
∴CF+CE=CF+AF=AC．
故答案為CF+CE=AC．
（3）如圖3中，結(jié)論：CE-CF=AC，理由如下：
證明：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=∠PCF=45°，
∵AC⊥EC，
∴∠ACE=90°，
∴∠PCE=180°-∠ACB-∠ACE=45°
∵FP⊥PC
∴∠FPC=90°，
∴∠PFC=90°-∠FCP=45°，
∠PFC=∠PCF=45°，
∴PF=PC，∠AFP=∠PCE，
∵AP⊥PE，
∴∠APE=90°，
∴∠FPC=∠APE=90°，
∴∠FPA=∠CPE
在△FPA和△CPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PFA=∠PCE}\\{PF=PC}\\{∠FPA=∠CPE}\end{array}\right.$，
∴△FPA≌△CPE，
∴AF=CE，
∴EC-CF=AF-CF=AC．

點(diǎn)評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，考查了學(xué)生的認(rèn)識圖形的能力，這類題目有個共同特征形變一些結(jié)論基本不變．