Question

14．如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，點E是邊CD的中點，連接BE并延長交AD的延長線于點F，連接CF．
（1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形；
（2）若CB=CD，求四邊形BDFC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)DE=EC，AF∥BC，得出內錯角相等，證明△BCE≌△FDE，可判斷BC∥DF且BC=DF，從而得出四邊形BCDF為平行四邊形；
（2）當BC=CD=3時，過點C作CG⊥AF于G，則四邊形AGCB是矩形，求出CG 即可解決問題．

解答 解：（1）∵AF∥BC，
∴∠DCB=∠CDF，∠FBC=∠BFD，
又DE=EC，
∴△BCE≌△FDE；
∴DF=BC，
又∵DF∥BC，
∴四邊形BCDF為平行四邊形；

（2）當BC=CD=3時，過點C作CG⊥AF于G，則四邊形AGCB是矩形，
在Rt△CDG中，DG=BC-AD=2，CG=$\sqrt{C{D}^{2}-D{G}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴S_{平行四邊形BDFC}=BC•CG=3$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了直角梯形的性質，全等三角形的判定與性質，平行四邊形、菱形的判定與性質．關鍵是利用梯形上下兩底的平行關系及中點，證明兩個三角形全等．