Question

9．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+3與x軸的兩個交點(diǎn)分別為A（-3，0）、B（1，0），過頂點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H．
（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）在y軸上是否存在點(diǎn)D，使得△ACD是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）若點(diǎn)P為x軸上方的拋物線上一動點(diǎn)（點(diǎn)P與頂點(diǎn)C不重合），PQ⊥AC于點(diǎn)Q，當(dāng)△PCQ與△ACH相似時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）將A（-3，0）、B（1，0）代入y=ax²+bx+3求出即可，再利用平方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）首先證明△CED∽△DOA，得出y軸上存在點(diǎn)D（0，3）或（0，1），即可得出△ACD是以AC為斜邊的直角三角形；
（3）首先求出直線CA的解析式為y=k₁x+b₁，再聯(lián)立兩函數(shù)解析式即可得出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用若點(diǎn)P在對稱軸左側(cè)（如圖②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH得出答案即可．

解答 解：（1）把A（-3，0）、B（1，0）分別代入y=ax²+bx+3，得
$\left\{\begin{array}{l}{0=9a-3b+3}\\{0=a+b+3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
則該拋物線的解析式為：y=-x²-2x+3．
因?yàn)閥=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
所以頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，4）；

（2）如圖1，假設(shè)在y軸上存在滿足條件的點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E．
由∠CDA=90°得∠1+∠2=90°．
又∵∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠1，
又∵∠CED=∠DOA=90°，
∴△CED∽△DOA，
∴$\frac{CE}{ED}$=$\frac{DO}{AO}$．
設(shè)D（0，c），
則 $\frac{1}{4-c}$=$\frac{c}{3}$．
變形，得c²-4c+3=0，
解得c₁=3，c₂=1．
綜合上述：在y軸上存在點(diǎn)D（0，3）或（0，1），使△ACD是以AC為斜邊的直角三角形．

（3）①若點(diǎn)P在對稱軸右側(cè)（如圖2），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH．
延長CP交x軸于M，
∴AM=CM，
∴AM²=CM²．
設(shè)M（m，0），則（m+3）²=4²+（m+1）²，
∴m=2，即M（2，0）．
設(shè)直線CM的解析式為y=k₁x+b₁，
則 $\left\{\begin{array}{l}{-{k}_{1}+_{1}=4}\\{2{k}_{1}+_{1}=0}\end{array}\right.$，
解之得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=\frac{4}{3}}\\{_{1}=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線CM的解析式y(tǒng)=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{8}{3}$．聯(lián)立 $\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=\frac{20}{9}}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=4}\end{array}\right.$（舍去）．
∴P（$\frac{1}{3}$，$\frac{20}{9}$）．
②若點(diǎn)P在對稱軸左側(cè)（如圖3），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH．
過A作CA的垂線交PC于點(diǎn)F，作FN⊥x軸于點(diǎn)N．
由△CFA∽△CAH得 $\frac{CA}{AF}$=$\frac{CH}{AH}$=2，
由△FNA∽△AHC得 $\frac{FN}{AH}$=$\frac{NA}{HC}$=$\frac{AF}{CA}$=$\frac{1}{2}$．
∴AN=2，F(xiàn)N=1，CH=4，HO=1，則AH=2，
∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（-5，1）．
設(shè)直線CF的解析式為y=k₂x+b₂，則$\left\{\begin{array}{l}{-{k}_{2}+_{2}=4}\\{-5{k}_{2}+_{2}=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=\frac{3}{4}}\\{_{2}=\frac{19}{4}}\end{array}\right.$．
∴直線CF的解析式y(tǒng)=$\frac{3}{4}$x+$\frac{19}{4}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+\frac{19}{4}}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{7}{4}}\\{y=\frac{55}{16}}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=4}\end{array}\right.$（舍去）．
∴P（-$\frac{7}{4}$，$\frac{55}{16}$）．
∴滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（$\frac{1}{3}$，$\frac{20}{9}$）或（-$\frac{7}{4}$，$\frac{55}{16}$）．

點(diǎn)評 此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的應(yīng)用，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點(diǎn)題型，特別注意利用數(shù)形結(jié)合是這部分考查的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握．