Question

3．解方程：2x⁵-3x⁴-5x³+5x²+3x-2=0．

Answer 1

分析 方程左邊分解因式得2（x⁵-1）-3（x⁴-x）-5（x³-x²）=0，進而得出（x-1）（2x⁴-x³-6x²-x+2）=0，則x-1=0或2x⁴-x³-6x²-x+2=0，由x-1=0解得x=1，由2x⁴-x³-6x²-x+2=0，進行變形得到2（x+$\frac{1}{x}$）²-5（x+$\frac{1}{x}$）-6=0，設y=x+$\frac{1}{x}$，則2y²-5y-6=0，根據根與系數的關系得出y₁+y₂=$\frac{5}{2}$，y₁•y₂=-3，從而得知方程2y²-5y-6=0有一根為正，另一根為負，因為當x＞0時，y=x+$\frac{1}{x}$≥2，當x＜0時，y=x+$\frac{1}{x}$≤-2，從而得出y₁•y₂≤-4，不可能等于-3，從而判斷方程2（x+$\frac{1}{x}$）²-5（x+$\frac{1}{x}$）-6=0無實數解，所以原方程有唯一實數解：x=1．

解答 解：2x⁵-3x⁴-5x³+5x²+3x-2=0，
2（x⁵-1）-3（x⁴-x）-5（x³-x²）=0，
（x-1）（2x⁴-x³-6x²-x+2）=0，
x-1=0或2x⁴-x³-6x²-x+2=0，
∴x₁=1
∵x=0不是方程2x⁴-x³-6x²-x+2=0的解，
∴2x²-x-6-$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$=0，
2（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$）-（x+$\frac{1}{x}$）-6=0，
即2（x+$\frac{1}{x}$）²-5（x+$\frac{1}{x}$）-6=0，
設y=x+$\frac{1}{x}$，
則2y²-5y-6=0，
∴y₁+y₂=$\frac{5}{2}$，y₁•y₂=-3，
∴方程2y²-5y-6=0有一根為正，另一根為負，
∵當x＞0時，y=x+$\frac{1}{x}$≥2，當x＜0時，y=x+$\frac{1}{x}$≤-2，
∴y₁•y₂≤-4，不可能等于-3，
∴方程2（x+$\frac{1}{x}$）²-5（x+$\frac{1}{x}$）-6=0無實數解，
故原方程有唯一實數解：x=1．

點評 本題考查了解高次方程和一元二次方程根與系數的關系，解高次方程的關鍵是消元，消元的方法有代入消元法和加減消元法．