Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C為圓上一點(diǎn)，AD平分∠BAC交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)B作FB⊥AB交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若DE=4，⊙O的半徑為5，求AC和BF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專(zhuān)題：

分析：（1）由AD平分∠BAC，得到∠1=∠2，而OD=OA，∠2=∠3，所以∠1=∠3，則有OD∥AE，而DE⊥AC，所以O(shè)D⊥DE；
（2）過(guò)D作DP⊥AB，P為垂足，則DP=DE=3，由⊙O的半徑為5，在Rt△OPD中，OD=5，DP=4，得OP=3，則AP=8，再由BF⊥AB，得DP∥FB，有

DP

FB

=

AP

AB

，即可求出BF，
求出AD，求出AE，根據(jù)△EDC∽△EAD得出比例式，即可求出AC．

解答：（1）證明：連OD，如圖，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2（等弦對(duì)等角），
又∵OD=OA，得∠2=∠3（等角對(duì)等邊），
∴∠1=∠3（等量代換），
而DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；

（2）解：過(guò)D作DP⊥AB，P為垂足，
∵AD為∠BAC的平分線，DE=4，
∴DP=DE=4，又⊙O的半徑為5，
在Rt△OPD中，OD=5，DP=4，得OP=3，則AP=8，
∵BF⊥AB，
∴DP∥FB，
∴

DP

FB

=

AP

AB

，即

4

BF

=

8

10

，
∴BF=5，
在Rt△APD中，由勾股定理得：AD=

82+42

=4

5

，
在Rt△AED中，由勾股定理得：AE=

(4 5 )2-42

=8，
連接CD，
∵DE切⊙O于D，
∴∠EDC=∠EAD，
∵∠E=∠E，
∴△EDC∽△EAD，
∴

DE

AE

=

CE

DE

，
∴

4

8

=

CE

4

，
∴CE=2，
∴AC=8-2=6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線的判定方法．經(jīng)過(guò)半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線．當(dāng)已知直線過(guò)圓上一點(diǎn)，要證明它是圓的切線，則要連接圓心和這個(gè)點(diǎn)，證明這個(gè)連線與已知直線垂直即可；當(dāng)沒(méi)告訴直線過(guò)圓上一點(diǎn)，要證明它是圓的切線，則要過(guò)圓心作直線的垂線，證明垂線段等于圓的半徑．同時(shí)考查了平行線分線段成比例定理．