Question

14．如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，點P從點B出發(fā)，沿對角線BD向點D勻速運動，速度為4cm/s，過點P作PQ⊥BD交BC于點Q，以PQ為一邊作正方形PQMN，使得點N落在射線PD上，點O從點D出發(fā)，沿DC向點C勻速運動，速度為3m/s，以O(shè)為圓心，0.8cm為半徑作⊙O，點P與點O同時出發(fā)，設(shè)它們的運動時間為t（單位：s）（0＜t＜$\frac{8}{5}$）．
（1）如圖1，連接DQ平分∠BDC時，t的值為1；
（2）如圖2，連接CM，若△CMQ是以CQ為底的等腰三角形，求t的值；
（3）請你繼續(xù)進行探究，并解答下列問題：
①證明：在運動過程中，點O始終在QM所在直線的左側(cè)；
②如圖3，在運動過程中，當QM與⊙O相切時，求t的值；并判斷此時PM與⊙O是否也相切？說明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用△PBQ∽△CBD求出PQ、BQ，再根據(jù)角平分線性質(zhì)，列出方程解決問題．
（2）由△QTM∽△BCD，得$\frac{QM}{BD}$=$\frac{TQ}{BC}$列出方程即可解決．
（3）①如圖2中，延長QM交CD于E，求出DE、DO利用差值比較即可解決問題．
②如圖3中，由①可知⊙O只有在左側(cè)與直線QM相切于點H，QM與CD交于點E．由△OHE∽△BCD，得$\frac{OH}{BC}$=$\frac{OE}{BD}$，列出方程即可解決問題．利用反證法證明直線PM不可能由⊙O相切．

解答 （1）解：如圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=∠ADC=∠ABC=90°，AB=CD=6．AD=BC=8，
∴BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵PQ⊥BD，
∴∠BPQ=90°=∠C，
∵∠PBQ=∠DBC，
∴△PBQ∽△CBD，
∴$\frac{PB}{BC}$=$\frac{PQ}{DC}$=$\frac{BQ}{BD}$，
∴$\frac{4t}{8}$=$\frac{PQ}{6}$=$\frac{BQ}{10}$，
∴PQ=3t，BQ=5t，
∵DQ平分∠BDC，QP⊥DB，QC⊥DC，
∴QP=QC，
∴3t=8-5t，
∴t=1，
故答案為：1．
（補充：直接利用角平分線的性質(zhì)得到DP=DC=6，BP=4，從而t=1）
（2）解：如圖2中，作MT⊥BC于T．
∵MC=MQ，MT⊥CQ，
∴TC=TQ，
由（1）可知TQ=$\frac{1}{2}$（8-5t），QM=3t，
∵MQ∥BD，
∴∠MQT=∠DBC，
∵∠MTQ=∠BCD=90°，
∴△QTM∽△BCD，
∴$\frac{QM}{BD}$=$\frac{TQ}{BC}$，
∴$\frac{3t}{10}$=$\frac{\frac{1}{2}（8-5t）}{8}$，
∴t=$\frac{40}{49}$（s），
∴t=$\frac{40}{49}$s時，△CMQ是以CQ為底的等腰三角形．

（3）①證明：如圖2中，延長QM交CD于E，
∵EQ∥BD，
∴$\frac{EC}{CD}$=$\frac{CQ}{CB}$，
∴EC=$\frac{3}{4}$（8-5t），ED=DC-EC=6-$\frac{3}{4}$（8-5t）=$\frac{15}{4}$t，
∵DO=3t，
∴DE-DO=$\frac{15}{4}$t-3t=$\frac{3}{4}$t＞0，
∴點O在直線QM左側(cè)．
②解：如圖3中，由①可知⊙O只有在左側(cè)與直線QM相切于點H，QM與CD交于點E．
∵EC=$\frac{3}{4}$（8-5t），DO=3t，
∴OE=6-3t-$\frac{3}{4}$（8-5t）=$\frac{3}{4}$t，
∵OH⊥MQ，
∴∠OHE=90°，
∵∠HEO=∠CEQ，
∴∠HOE=∠CQE=∠CBD，
∵∠OHE=∠C=90°，
∴△OHE∽△BCD，
∴$\frac{OH}{BC}$=$\frac{OE}{BD}$，
∴$\frac{\frac{4}{5}}{8}$=$\frac{\frac{3}{4}t}{10}$，
∴t=$\frac{4}{3}$．
∴t=$\frac{4}{3}$s時，⊙O與直線QM相切．
連接PM，假設(shè)PM與⊙O相切，則∠OMH=$\frac{1}{2}$PMQ=22.5°，
在MH上取一點F，使得MF=FO，則∠FMO=∠FOM=22.5°，
∴∠OFH=∠FOH=45°，
∴OH=FH=$\frac{4}{5}$，F(xiàn)O=FM=$\frac{4}{5}$$\sqrt{2}$，
∴MH=$\frac{4}{5}$（$\sqrt{2}$+1），
由$\frac{OH}{BC}$=$\frac{HE}{DC}$得到HE=$\frac{3}{5}$，
由$\frac{EC}{BD}$=$\frac{CQ}{CB}$得到EQ=$\frac{5}{3}$，
∴MH=MQ-HE-EQ=4-$\frac{3}{5}$-$\frac{5}{3}$=$\frac{26}{15}$，
∴$\frac{4}{5}$（$\sqrt{2}$+1）≠$\frac{26}{15}$，矛盾，
∴假設(shè)不成立．
∴直線PM與⊙O不相切．

點評 本題考查圓綜合題、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定和性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵靈活運用這些知識解決問題，學(xué)會利用方程的思想思考問題，充分利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程，在最后一個問題證明中利用了反證法，屬于中考壓軸題．