Question

10．如圖，已知以E（6，0）為圓心，以10為半徑的⊙E與x軸交于A．B兩點，與y軸交于C點，拋物線y=ax²+bx+c經過A，B，C三點，頂點為F；
（1）求A，B，C三點的坐標；
（2）求拋物線的解析式及頂點F的坐標；
（3）已知M為拋物線上一動點（不與C點重合），試探究：
①使得以A，B．M為頂點的三角形面積與△ABC的面積相等，求所有符合條件的點M的坐標；
②若探究①中的M點位于第四象限，連接M點與拋物線頂點F，試判斷直線MF與⊙E的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據有理數的加法，可得A、B點坐標，根據勾股定理，可得C點坐標；
（2）根據待定系數法，可得函數解析式，根據配方法，可得頂點坐標；
（3）①根據平行線間的距離相等，可得M的縱坐標，根據自變量與函數值的對應關系，可得M點坐標；
②根據勾股定理，可得MF²，EF²，EM²，根據勾股定理的逆定理，可得FM⊥EM，根據切線的判定，可得答案．

解答 解：（1）6-10=-4，即A（-4，0），6+10=16，即B（16，0），
由勾股定理，得OC=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，即C（0，-8）；
（2）將A、B、C坐標代入函數解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+c=0}\\{256a+16b+c=0}\\{c=-8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{8}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=8}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=$\frac{1}{8}$x²-$\frac{3}{2}$x-8，
配方，得
y=$\frac{1}{8}$（x-6）²-$\frac{25}{2}$，即F點坐標為（6，-$\frac{25}{2}$）；
（3）①如圖1，
由A，B．M為頂點的三角形面積與△ABC的面積相等，得
M點縱坐標為-8，或8．
當y=-8時，$\frac{1}{8}$x²-$\frac{3}{2}$x-8=-8，解得x=0（不符合題意，舍），x=12，即M（12，-8）；
當y=8時，$\frac{1}{8}$x²-$\frac{3}{2}$x-8=8，解得x=6-2$\sqrt{41}$，x=6+2$\sqrt{41}$，即M（6-2$\sqrt{41}$，8），（6+2$\sqrt{41}$，8）；
綜上所述：以A，B．M為頂點的三角形面積與△ABC的面積相等，點M的坐標（12，-8），（6-2$\sqrt{41}$，8），（6+2$\sqrt{41}$，8）；
②如圖2，
由勾股定理，得
EM²=100，EF²=（-$\frac{25}{2}$）²=$\frac{625}{4}$，FM²=（12-6）²+（$\frac{25}{2}$-8）²=36+$\frac{81}{4}$=$\frac{225}{4}$．
FM²+EM²=100+$\frac{225}{4}$=$\frac{625}{4}$，
FM²+EM²=EF²，
由勾股定理得逆定理，得
FM⊥EM．
由FM經過半徑的外端，FM是⊙M的切線．

點評 本題考查了二次函數綜合題，利用待定系數法求函數解析式；利用平行線間的距離相等得出M的縱坐標是解題關鍵；利用勾股定理及逆定理是解題關鍵．