Question

已知點P在∠AOB內(nèi)，點D，E分別在邊OA，OB上．
（1）如圖1，若∠PDO=90°，∠PEO=90°，且PD=PE，求證：點P在∠AOB的平分線上；
（2）如圖2，若∠PDO+∠PEO=180°，且PD=PE，問：點P是否在∠AOB的平分線上？試證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：角平分線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用“HL”證明Rt△ODP和Rt△OEP全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠DOP=∠EOP，再根據(jù)角平分線的定義證明；
（2）過點P作PF⊥OA于F，作PG⊥OB于G，先求出∠DPE=∠FPG，再求出∠DPF=∠EPG，然后利用“角角邊”證明△PDF和△PEG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得PF=PG，再根據(jù)到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上解答．

解答：（1）證明：在Rt△ODP和Rt△OEP中，

OP=OP PD=PE

，
∴Rt△ODP≌Rt△OEP（HL），
∴∠DOP=∠EOP，
∴點P在∠AOB的平分線上；

（2）解：如圖，過點P作PF⊥OA于F，作PG⊥OB于G，
∴∠FPG+∠O=180°，
∵∠PDO+∠PEO=180°，
∴∠DPE+∠O=180°，
∴∠DPE=∠FPG，
∴∠DPF=∠EPG，
在△PDF和△PEG中，

∠DPF=∠EPG ∠DFP=∠EGP=90° PD=PE

，
∴△PDF≌△PEG（AAS），
∴PF=PG，
又∵PF⊥OA，PG⊥OB，
∴點P在∠AOB的平分線上．

點評：本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上的證明，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并理解證明方法是解題的關(guān)鍵．