Question

定義：若拋物線y=ax²+bx+c與x軸的兩個交點和頂點構成直角三角形，則稱這條拋物線為“直角拋物線”．
（1）拋物線y=x²-1

 

直角拋物線（填“是”或“不是”）；
（2）如圖，直角拋物線y=x²+4x+c與x軸交于點A、B（A在B的左側），與y軸交于點C，頂點為P．
①求c的值；
②在x軸上是否存在點Q，使得以A、Q、C為頂點的三角形與△APB相似？若存在，
求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）觀察（1）、（2）中的拋物線解析式，試猜想：在直角拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）中，b²-4ac是否為定值？若是，請直接寫出該定值．（不要求說理）

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）根據解析式得出圖象與坐標軸交點，進而得出三角形形狀；
（2）①首先表示出AB的長，進而得出P點坐標，由AB²=（2PD）²=4PD²，即可得出c的值；
②（Ⅰ）當∠AQC=90°，且QA=QC時，△AQC∽△APB，（Ⅱ）當∠ACQ=90°，且CQ=CA時，進而得出Q點坐標；
（3）利用（1）（2）進而求出b²-4ac的值進而得出答案．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²-1，與x軸交于點（1，0），（-1，0），頂點坐標為：（0，-1），
∴三點構成的三角形三邊為：

2

，

2

，2，
∵（

2

）²+（

2

）²=2²，
∴此三角形是直角三角形；
故答案為：是；

（2）①如圖1，作PD⊥x軸于D．
當y=0時，x²+4x+c=0，
解得：x₁=-2+

4-c

，x₂=-2-

4-c

，
∴AB=x₁-x₂=2

4-c

，
∵y=x²+4x+c=（x+2）²+c-4，
∴P（-2，c-4），
∵4-c＞0，
∴c＜4，
∴PD=4-c．   
由拋物線的對稱性知，PA=PB．
∵PD⊥AB，
∴DA=DB，
∵∠APB=90°，∴∠APB=90°，
∴AB=2PD，
∴AB²=（2PD）²=4PD²，
∴4（4-c）=4（4-c）²．
∵4-c≠0，
∴4-c=1，
∴c=3．  

②由①知，A（-3，0），B（-1，0），C（0，3），
∴OC=OA=3．   
解法一：
∵△APB是等腰直角三角形，點Q在x軸上，

（Ⅰ）當∠AQC=90°，且QA=QC時，△AQC∽△APB，
此時點Q與點O重合，
∴Q（0，0）．  
（Ⅱ）當∠ACQ=90°，且CQ=CA時，
△ACQ∽△APB，
此時點Q與點A關于y軸對稱，
∴Q（3，0）．  
解法二：
∵∠CAO=∠BAP=45°，AP=

2

，AC=3

2

，
（Ⅰ）當

AQ

AP

=

AC

AB

時，△AQC∽△APB，

∴

AQ

2

=

3 2

2

，
∴AQ=3，
∴Q（0，0），
（Ⅱ）當

AQ

AB

=

AC

AP

時，
△ACQ∽△APB，
則

AQ

2

=

3 2

2

，
∴AQ=6，
∴Q（3，0）． 
綜上所述，在x軸上存在點Q （0，0）或（3，0），使得以A、Q、C為頂點的三角形與△APB相似．

（3）b²-4ac是定值，
∵y=x²-1中，b²-4ac=4，y=x²+4x+3中，b²-4ac=4，
∴在直角拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）中，b²-4ac是定值，為4．

點評：此題主要考查了二次函數綜合以及勾股定理和相似三角形的判定與性質等知識，利用分類討論得出是解題關鍵．