Question

在Rt△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E是線段AC上兩動點(diǎn)，且AD=EC，AM⊥BD，垂足為M，AM的延長線交BC于點(diǎn)N，直線BD與直線NE相交于點(diǎn)F．試判斷△DEF的形狀，并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：如圖，作輔助線，首先證明△BAD≌△ACP，得到AD=CP，∠ADB=∠P，進(jìn)而得到CE=CP；證明△CPN≌△CEN 得到∠P=∠CEN，問題即可解決．

解答：解：△DEF是等腰三角形．
證明：如圖，過點(diǎn)C作CP⊥AC，交AN延長線于點(diǎn)P
在Rt△ABC中，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ACB=45°，∠PCN=∠ACB=45°，∠BAD=∠ACP
∵AM⊥BD，
∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°，
∴∠ABD=∠CAP，
在△BAD與△ACP 中，

∠BAD=∠ACP AB=AC ∠ABD=∠CAP

，
∴△BAD≌△ACP （ASA），
∴AD=CP，∠ADB=∠P；
∵AD=CE，
∴CE=CP；
在△CPN與△CEN中，

CE=CP ∠ECN=∠PCN CN=CN

，
∴△CPN≌△CEN （SAS），
∴∠P=∠CEN，∠CEN=∠ADB，
∵∠ADB=∠CEN，
∴∠FDE=∠FED，
∴△DEF是等腰三角形．

點(diǎn)評：該題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形，靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析、判斷、推理或解答．