Question

20．已知：如圖，在△ABC中，BC=BA，BE平分∠CBA交邊CA于點E，∠ABC=45°，CD⊥AB，垂足為D，F(xiàn)為BC中點，BE與DF、DC分別交于點G、H．
（1）求證：BH=CA；
（2）求證：BG²=GE²+EA²．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性質(zhì)知∠BEA=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即余角的性質(zhì)得DB=DC、∠ABE=∠DCA，利用ASA證出△DBH≌△DCA即可；
（2）證BE垂直平分AC，則由“垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等”推知AG=CG．易證DF垂直平分BC，則BG=CG，所以依據(jù)等量代換證得AG=BG，在Rt△AGE中，由勾股定理即可推出答案．

解答 解：（1）∵BC=BA，BE平分∠CBA，
∴BH⊥CA，
∴∠BEA=90°，
又CD⊥AB，∠ABC=45°，
∴∠BDC=∠CDA=90°，
∴∠BCD=∠ABC=45°，∠BAC+∠DCA=90°，∠BAC+∠ABE=90°，
∴DB=DC，∠ABE=∠DCA．
∵在△DBH與△DCA中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DBH=∠DCA}\\{∠BDH=∠CDA}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△DBH≌△DCA（AAS），
∴BH=AC；

（2）如圖，連接CG．

∵AB=BC，BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC，
∴AG=CG．
又∵F點是BC的中點，DB=DC，
∴DF垂直平分BC，
∴BG=CG，
∴AG=BG，BG²=GE²+EA²．
在Rt△AGE中，∵AG²=GE²+EA²，
∴BG²=GE²+EA²．

點評 本題考查了勾股定理，等腰三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，線段的垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等，等腰三角形具有三線合一的性質(zhì)，主要考查學(xué)生運用定理進行推理的能力．