Question

八年級數(shù)學(xué)課上，朱老師出示了如下框中的題目．

小聰與同桌小明討論后，進(jìn)行了如下解答：
（1）特殊情況•探索結(jié)論
當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，確定線段AE與的DB大小關(guān)系．請你直接寫出結(jié)論：AE

 

DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）特例啟發(fā)•解答題目
解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE

 

DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：
如圖2，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，（請你完成以下解答過程）
（3）拓展結(jié)論•設(shè)計(jì)新題
在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC．若△ABC的邊長為3，AE=1，則CD=

 

（請你直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，過E作EF∥BC交AC于點(diǎn)F，則可證明△BDE≌△FEC，可得到AE=DB；
（2）類似（1）過E作EF∥BC交AC于點(diǎn)F，可利用AAS證明△BDE≌△FEC，可得BD=EF，再證明△AEF是等邊三角形，可得到AE=EF，可得AE=DB；
（3）分點(diǎn)E在AB上和在BA的延長線上，類似（2）證得全等，再利用平行得到．

解答：解：
（1）如圖1，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，

∵△ABC為等邊三角形，
∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF為等邊三角形，
∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，
∴∠EDB=∠FEC，
在△BDE和△FEC中

∠EBD=∠EFC ∠EDB=∠FEC ED=EC

∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF，
∴AE=BD，
故答案為：=；
（2）如圖2，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，

∵△ABC為等邊三角形，
∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF為等邊三角形，
∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，
∴∠EDB=∠FEC，
在△BDE和△FEC中

∠EBD=∠EFC ∠EDB=∠FEC ED=EC

∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF，
∴AE=BD，
故答案為：=；
（3）因?yàn)锳E=1，△ABC的邊長為3，所以E點(diǎn)可能在線段AB上，也可能在BA的延長線上，
當(dāng)點(diǎn)E在AB時(shí)，同（2）可知BD=AE=1，則CD=BC+BD=1+3=4，
當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長線上時(shí)，如圖3，過點(diǎn)E作EF∥BC，交CA的延長線于點(diǎn)F，

則∠F=∠FCB=∠B=60°，
∠FEC+∠ECD=∠FEC+∠EDC=180°，
∴∠EDB=∠FEC，
且ED=EC，
在△BDE和△FEC中

∠B=∠F ∠BDE=∠FEC ED=EC

∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴EF=BD，
又可判定△AEF為等邊三角形，
∴BD=EF=AE=1，
∴CD=BC-BD=3-1=2，
故答案為：2或4．

點(diǎn)評：本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)和判定，利用全等得到BD=EF，再找EF和AE的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．