Question

17．觀察下列各式，你有什么發(fā)現(xiàn)？
3²=4+5，5²=12+13，7²=24+25，9²=40+41，…
用你的發(fā)現(xiàn)解決下列問題：
（1）填空：11²=60+61；
（2）請用含字母n（n為正整數(shù)）的關(guān)系式表示出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：（2n+1）²=（$\frac{（2n+1）^{2}-1}{2}$）+（$\frac{（2n+1）^{2}+1}{2}$）；
（3）結(jié)合勾股定理有關(guān)知識，說明你的結(jié)論的正確性．

Answer 1

分析 認(rèn)真觀察三個數(shù)之間的關(guān)系可得出規(guī)律：第n組數(shù)為（2n+1），（$\frac{（2n+1）^{2}-1}{2}$），（$\frac{（2n+1）^{2}+1}{2}$），由此規(guī)律解決問題．

解答 解：（1）11²=b+c，這是第5個式子，
故11²=$\frac{1{1}^{2}-1}{2}$+$\frac{1{1}^{2}+1}{2}$=60+61；
故答案為：60，61；
（2）（2n+1）²=（$\frac{（2n+1）^{2}-1}{2}$）+（$\frac{（2n+1）^{2}+1}{2}$）；
故答案為：（2n+1）²=（$\frac{（2n+1）^{2}-1}{2}$）+（$\frac{（2n+1）^{2}+1}{2}$）；
（3）由已知各式中的勾股數(shù)特征，
[$\frac{（2n+1）^{2}-1}{2}$]²-[$\frac{（2n+1）^{2}+1}{2}$]²
=[$\frac{（2n+1）^{2}-1}{2}$+$\frac{（2n+1）^{2}+1}{2}$][$\frac{（2n+1）^{2}-1}{2}$-$\frac{（2n+1）^{2}+1}{2}$]=（2n+1）²×1
=（2n+1）²．
所以得證．

點評 本題考查了勾股定理的知識及數(shù)字的規(guī)律變化，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察所給式子，要求同學(xué)們能有一般得出特殊規(guī)律．