Question

如圖（a），正方形AOCB的邊長為4，反比例函數的圖象經過點E（3，4）．
（1）求反比例函數的解析式．
（2）反比例函數的圖象與線段BC交于點D，直線y=-

1

2

x+b過點D，與線段AB相交于點F，求點F的坐標．
（3）如圖（b），在（1）的條件下，在反比例函數的圖象上是否存在一點P，使得∠POE=45°？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數綜合題

專題：

分析：（1）設反比例函數的解析式為y=

k

x

，把點E（3，4）代入即可求出k的值，進而得出結論；
（2）由正方形AOCB的邊長為4，故可知點D的橫坐標為4，點F的縱坐標為4．由于點D在反比例函數的圖象上，所以點D的縱坐標為3，即D（4，3），由點D在直線y=-

1

2

x+b上可得出b的值，進而得出該直線的解析式，再把y=4代入直線的解析式即可求出點F的坐標；
（3）設P（a，b），作EM⊥x軸于M，EN⊥OP于N，PF⊥x軸于FEM交OP于G，先求出OE、EN，再證明△EGN∽△OGM，得出比例式，求出EG：OG=5

2

：6，設EG=5

2

x，則OG=6x，在Rt△OGM中，根據勾股定理得：OM²+GM²=OG²，求出x，得出GM，再根據三角函數求出a=7b，又有ab=12，即可求出a、b的值，得出P的坐標．

解答： 解：（1）設反比例函數的解析式y(tǒng)=

k

x

，
∵反比例函數的圖象過點E（3，4），
∴4=

k

3

，即k=12．
∴反比例函數的解析式y(tǒng)=

12

x

；
（2）∵正方形AOCB的邊長為4，
∴點D的橫坐標為4，點F的縱坐標為4．
∵點D在反比例函數的圖象上，
∴點D的縱坐標為3，即D（4，3）．
∵點D在直線y=-

1

2

x+b上，
∴3=-

1

2

×4+b，解得b=5．
∴直線DF為y=-

1

2

x+5，
將y=4代入y=-

1

2

x+5，得4=-

1

2

x+5，解得x=2．
∴點F的坐標為（2，4）；
（3）存在；
設P（a，b），作EM⊥x軸于M，EN⊥OP于N，PF⊥x軸于FEM交OP于G；如圖所示：
則∠ONE=∠OME=∠OFP=90°，
根據題意得：AE=OM=3，OA=EM=4，
∴OE=

32+42

=5，
∵∠POE=45°，
∴EN=

5

2

=

5 2

2

，
又∵∠OGM=∠EGN，
∴△EGN∽△OGM，
∴

EG

OG

=

EN

OM

=

5 2 2

3

=

5 2

6

，
設EG=5

2

x，則OG=6x，GM=4-5

2

x，
在Rt△OGM中，根據勾股定理得：
OM²+GM²=OG²，
即3²+(4-5

2

x)2=（6x）²，
解得：x=

5 2

14

，或x=

5 2

2

（不合題意，舍去），
∴GM=4-5

2

×

5 2

14

=

3

7

，
∴tan∠POF=

PF

OF

=

GM

OM

，
即

b

a

=

3 7

3

=

1

7

，
∴a=7b，又∵ab=12，
解得：a=2

21

，b=

2 21

7

，
∴點P坐標為（2

21

，

2 21

7

）．

點評：本題考查的是反比例函數綜合題，涉及到正方形的性質、用待定系數法求一次函數及反比例函數的解析式、相似三角形的判定與性質、勾股定理等相關知識，難度較大，綜合性強，有利于培養(yǎng)學生綜合運用知識推理、計算能力和探究精神．