Question

矩形ABCD中，點E是AD中點，EF⊥CE交AB于F，連CF．
（1）求證：EF平分∠AFC；
（2）若

AF

AE

=

1

2

，求

BF

CF

．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),角平分線的性質(zhì)

專題：計算題,證明題

分析：（1）延長FE交CD的延長線于點G，即可證明△AEF≌△DEG，得到EF=EG，則CE是FG的中垂線，得到CF=CG，根據(jù)等邊對等角以及平行線的性質(zhì)即可證得；
（2）AE=2x，則ED=AE=2x，AD=BC=4x，證明△AEF∽△DCE，即可利用x表示出CD的長，則CF=CG即可求得長度，在直角△BCF中，利用勾股定理即可求得BF，從而求解．

解答：解：（1）延長FE交CD的延長線于點G．
在△AEF和△DEG中，

∠A=∠EDG AE=DE ∠AEF=∠DEG

，
∴△AEF≌△DEG（ASA），
∴EF=EG，
又∵EF⊥CE，
∴CF=CG，
∴∠G=∠CFG，
∵AB∥CD，
∴∠G=∠AFE，
∴∠AFE=∠CFG，即EF平分∠AFC；
（2）設(shè)AF=x，
∵

AF

AE

=

1

2

，
∴AE=2x，則ED=AE=2x，AD=BC=4x．
∵EF⊥CE，即∠CEF=90°，∠AEF+∠CED=90°，
又∵直角△AEF中，∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠CED，
又∵∠A=∠CDE=90°，
∴△AEF∽△DCE，
∴

DE

CD

=

AF

AE

=

1

2

，
∴CD=2DE=4x．
∴CF=CG=CD+DG=5x．
在直角△BCF中，BF=

CF2-BC2

=3x，
則

BF

CF

=

3

5

．

點評：本題是相似三角形以及線段的垂直平分線的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，正確作出輔助線是關(guān)鍵．