Question

3．在平面直角坐標(biāo)系中，△ACO為等腰直角三角形，AC=OC，C（-1，3）．
（1）如圖1，求點(diǎn)A的坐標(biāo)及OA的長(zhǎng)；
（2）如圖2，過(guò)C作CN⊥y軸于N，M為OA的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）過(guò)C作BD∥x軸，過(guò)A作BD垂線交BD于點(diǎn)B，易證△ABC≌△COD，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)題意可以求出點(diǎn)N，M坐標(biāo)，即可求得MN的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）如圖1，過(guò)C作BD∥x軸，過(guò)A作BD垂線交BD于點(diǎn)B，
∵∠BCA+∠BAC=90°，∠DCO+∠BCA=90°，
∴∠BAC=∠DCO，
∵等腰直角△ACO中AC=CO．
在△ABC和△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠ODC=90°}\\{∠BAC=∠DCO}\\{AC=CO}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△COD，（AAS）
∴BC=OD，AB=CD，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，2），
∴OA=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；

（2）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，2），M為AO的中點(diǎn)，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，1），
∵CN⊥y軸，
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
∴MN=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)與點(diǎn)的距離的計(jì)算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．