Question

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AB=AC=10，線段BC在x軸上，BC=12，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，0），線段AB交y軸于點(diǎn)E，過(guò)A作AD⊥BC于D，動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿x軸向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)△BPE是等腰三角形時(shí)，求t的值；
（2）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，△ABC以B為位似中心向右放大，且點(diǎn)C向右運(yùn)動(dòng)的速度為每秒2個(gè)單位，△ABC放大的同時(shí)高AD也隨之放大，當(dāng)以EP為直徑的圓與動(dòng)線段AD所在直線相切時(shí)，求t的值和此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）首先求出直線AB的解析式，進(jìn)而分別利用①當(dāng)BE=BP時(shí)，②當(dāng)EB=EP時(shí)，③當(dāng)PB=PE時(shí)，得出t的值即可；
（2）首先得出△PGF∽△POE，再利用在Rt△EOP中：EP²=OP²+EO²，進(jìn)而求出t的值以及C點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=6，
∵AB=10，
∴AD=8，
∴A（3，8），
設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{3k+b=8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為：y=$\frac{3}{4}$x+4，
∴E（0，4），
∴BE=5，
當(dāng)△BPE是等腰三角形有三種情況：
①當(dāng)BE=BP時(shí)，3+3t=5，解得：t=$\frac{2}{3}$；    
②當(dāng)EB=EP時(shí)，3t=3，解得：t=1；
③當(dāng)PB=PE時(shí)，
∵PB=PE，AB=AC，∠ABC=∠PBE，
∴∠PEB=∠ACB=∠ABC，
∴△PBE∽△ABC，
∴$\frac{BP}{AB}$=$\frac{BE}{BC}$，
∴$\frac{3+3t}{10}$=$\frac{5}{12}$，解得：t=$\frac{7}{18}$，
綜上：t=$\frac{2}{3}$或t=1或t=$\frac{7}{18}$；

（2）由題意得：C（9+2t，0），
∴BC=12+2t，BD=CD=6+t，OD=3+t，
設(shè)F為EP的中點(diǎn)，連接OF，作FH⊥AD，F(xiàn)G⊥OP，
∵FG∥EO，
∴△PGF∽△POE，
∴PG=OG=$\frac{3}{2}$t，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$EO=2，∴F（$\frac{3}{2}$t，2），
∴FH=GD=OD-OG=3+t-$\frac{3}{2}$t=3-$\frac{1}{2}$t，
∵⊙F與動(dòng)線段AD所在直線相切，F(xiàn)H=$\frac{1}{2}$EP=3-$\frac{1}{2}$t，
在Rt△EOP中：EP²=OP²+EO²
∴4（3-$\frac{1}{2}$t）²=（3t）²+16   
解得：t₁=1，t₂=-$\frac{5}{2}$（舍去），
∴當(dāng)t=1時(shí)⊙F與動(dòng)線段AD所在直線相切，此時(shí)C（11，0）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了圓的綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，利用分類(lèi)討論得出是解題關(guān)鍵．