Question

9．如圖，矩形ABCD中，BC=2AB=3，DE=2EC，∠EAF=45°，則BF的長為0.75．

Answer 1

分析 先構(gòu)造正方形ADQP，根據(jù)∠EAF=45°得到△GAE≌△GAH（SAS），進(jìn)而得出HG=EG，設(shè)PG=x，則GH=1+x=GE，GQ=3-x，在Rt△EGQ中，根據(jù)EQ²+GQ²=GE²，可得方程2²+（3-x）²=（1+x）²，即可得出PG=1.5，最后根據(jù)BF∥PG，B為AP的中點，即可得到BF的長．

解答 解：如圖所示，延長AB至P，使得BP=AB，延長DC至Q，使得CQ=DC，連接PQ，則四邊形ADQP是正方形，
延長AF交PQ于G，連接GE，將△ADE繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得△APH，則H，P，G在同一直線上，AE=AH，
∵∠GAE=45°，∠DAP=90°，
∴∠PAH+∠PAG=∠DAE+∠PAG=45°，
∴∠GAE=∠GAH，
在△GAE和△GAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AH}\\{∠GAE=∠GAH}\\{AG=AG}\end{array}\right.$，
∴△GAE≌△GAH（SAS），
∴HG=EG，
由題可得，DE=1=HP，EC=0.5，CQ=1.5，PQ=3，
設(shè)PG=x，則GH=1+x=GE，GQ=3-x，
在Rt△EGQ中，EQ²+GQ²=GE²，
即2²+（3-x）²=（1+x）²，
解得x=1.5，
∴PG=1.5，
∵BF∥PG，B為AP的中點，
∴$\frac{AB}{AP}$=$\frac{BF}{PG}$=$\frac{1}{2}$，
∴BF=$\frac{1}{2}$PG=0.75，
故答案為：0.75

點評 本題主要考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形以及正方形，依據(jù)勾股定理列方程進(jìn)行求解．