Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線y=-4x+4交坐標(biāo)軸于點A、B，如圖所示．將△AOB繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DOC．拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A、B、C．
（1）直接寫出點C、D的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）點P是第二象限內(nèi)拋物線上的動點，求△PCD面積的最大值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先求出A和B點的坐標(biāo)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知OA=OD，OB=OC，繼而求出點C、D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，把A，B，C點的坐標(biāo)代入求出a，b，c的值即可；
（3）先運用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式，設(shè)PM與CD的交點為N，根據(jù)CD的解析式表示出點N的坐標(biāo)，再根據(jù)S_△PCD=S_△PCN+S_△PDN就可以表示出三角形PCD的面積，運用頂點式就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）∵直線y=-4x+4交坐標(biāo)軸于點A、B，
∴B點的坐標(biāo)為（0，4），
設(shè)y=0，則x=1，
∴A點的坐標(biāo)為（1，0），
∵△DOC是由△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°而得到的，
∴△DOC≌△AOB，
∴OC=OB=4，OD=OA=1，
∴C、D的坐標(biāo)分別為（-4，0），（0，1）；
（2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，把A，B，C點的坐標(biāo)代入得：

0=a+b+c 4=c 0=16a-4b+c

，
解得：

a=-1 b=-3 c=4

，
∴拋物線的解析式為y=-x²-3x+4；
②設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，由題意，得

-4k+b=0 b=1

，
解得：

k= 1 4 b=1

，
∴直線CD的解析式為：y=

1

4

x+1．
設(shè)PM與CD的交點為N，則點N的坐標(biāo)為（t，

1

4

t+1），
∴NM=

1

4

t+1．
∴PN=PM-NM=-t²-3t+4-（

1

4

t+1）=-t²-

13

4

t+3．
∵S_△PCD=S_△PCN+S_△PDN，
∴S_△PCD=

1

2

PN•CM+

1

2

PN•OM，
=

1

2

PN（CM+OM），
=

1

2

PN•OC，
=

1

2

×4（-t²-

13

4

t+3），
=-2（t+

13

8

）²+

361

32

，
∴當(dāng)t=-

13

8

時，S_△PCD的最大值為

361

32

．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的運用，三角形的面積公式的運用，二次函數(shù)的頂點式的運用，解答本題時，先求出二次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵，用函數(shù)關(guān)系式表示出△PCD的面積由頂點式求最大值是難點．