Question

18．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒5cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒4cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜2），連接PQ．若△BPQ與△ABC相似，則t的值為1秒或$\frac{32}{41}$秒．

Answer 1

分析 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜2），則BP=5t，CQ=4t，BQ=8-4t，先利用勾股定理計(jì)算出AB=10，分類討論：當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得$\frac{5t}{10}$=$\frac{8-4t}{8}$；當(dāng)△BPQ∽△BQP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得$\frac{5t}{8}$=$\frac{8-4t}{10}$，然后分別解方程求出t的值即可．

解答 解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜2），則BP=5t，CQ=4t，BQ=8-4t，
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí)，$\frac{BP}{BA}$=$\frac{BQ}{BC}$，即$\frac{5t}{10}$=$\frac{8-4t}{8}$，解得t=1（秒）；
當(dāng)△BPQ∽△BQP時(shí)，$\frac{BP}{BC}$=$\frac{BQ}{BA}$，即$\frac{5t}{8}$=$\frac{8-4t}{10}$，解得t=$\frac{32}{41}$（秒），
即當(dāng)t=1秒或$\frac{32}{41}$秒時(shí)，△BPQ與△ABC相似．
故答案為1秒或$\frac{32}{41}$秒時(shí)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．也考查了分類討論的思想和利用代數(shù)法解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題．