Question

6．已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O及點(diǎn)A（4，0）和點(diǎn)B（-2，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C，將直線y=-2x沿y軸向下平移n個(gè)單位后得到直線l，若直線l經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D，且與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E．若P是拋物線上一點(diǎn)，且PB=PE，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，將拋物線向上平移6個(gè)單位得到新拋物線，直接寫(xiě)出下列兩個(gè)問(wèn)題的答案：
①直線y=-2x至少向上平移多少個(gè)單位才能與新拋物線有交點(diǎn)？
②新拋物線上的動(dòng)點(diǎn)Q到直線y=-2x的最短距離是多少？

Answer 1

分析 （1）首先由拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，得出c=0，那么拋物線的解析式為y=ax²+bx，再把點(diǎn)A（4，0）和點(diǎn)B（-2，3）代入y=ax²+bx，得到關(guān)于a、b的方程組，解方程組即可；
（2）先由“上加下減”的平移規(guī)律得出直線l的解析式為y=-2x-n，將點(diǎn)B（-2，3）代入，求出n=1，那么直線l的解析式為y=-2x-1，D（0，-1）．再求出C（2，0），E（2，-5），得到點(diǎn)D（0，-1）是線段BE的中點(diǎn)．由CE=CB=5，PB=PE，得出點(diǎn)P是直線CD與該拋物線的交點(diǎn)．再用待定系數(shù)法求出CD的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-1，將它與拋物線的解析式聯(lián)立得到方程組，解方程組即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）由“上加下減”的平移規(guī)律得出新拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-x+6．
①設(shè)直線y=-2x向上平移t個(gè)單位能與新拋物線有交點(diǎn)，將y=-2x+t代入y=$\frac{1}{4}$x²-x+6，得$\frac{1}{4}$x²+x+6-t=0，由△=1²-4×$\frac{1}{4}$（6-t）≥0，求出t≥5，那么t的最小值即為所求；
②先求出新拋物線與直線y=-2x+5的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，9），根據(jù)題意得出點(diǎn)Q坐標(biāo)為（-2，9）時(shí)，到直線y=-2x的距離最短．過(guò)點(diǎn)Q作QR⊥直線y=-2x于點(diǎn)R，則RQ為所求．用待定系數(shù)法求出直線RQ的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+10，將它與y=-2x聯(lián)立得到方程組，解方程組求出R（-4，8），再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出RQ的長(zhǎng)即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，
∴c=0，即拋物線的解析式為y=ax²+bx，
把點(diǎn)A（4，0）和點(diǎn)B（-2，3）代入y=ax²+bx，
依題意得$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=0}\\{4a-2b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-x；

（2）如圖1，將直線y=-2x沿y軸向下平移n個(gè)單位后得到直線l，則直線l的解析式為y=-2x-n，
∵直線l過(guò)點(diǎn)B（-2，3），
∴-2×（-2）-n=3，
解得n=1，
∴直線l的解析式為y=-2x-1，
∴D（0，-1）．
∵拋物線y=$\frac{1}{4}$x²-x的對(duì)稱軸為x=2，
∴C（2，0），E（2，-5）．
∴點(diǎn)D（0，-1）是線段BE的中點(diǎn)．
又∵CE=CB=5，
∴CD垂直平分BE．
∵PB=PE，
∴點(diǎn)P是直線CD與該拋物線的交點(diǎn)．
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+m．
將D（0，-1）、C（2，0）代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{2k+m=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{m=-1}\end{array}\right.$，
∴CD的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-1．
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x-1\\ y=\frac{1}{4}{x^2}-x\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=3+\sqrt{5}\\{y_1}=\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3-\sqrt{5}}\\{{y}_{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₁（3-$\sqrt{5}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$），P₂（3+$\sqrt{5}$，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）；

（3）將拋物線y=$\frac{1}{4}$x²-x向上平移6個(gè)單位得到新拋物線y=$\frac{1}{4}$x²-x+6．
①設(shè)直線y=-2x向上平移t個(gè)單位能與新拋物線有交點(diǎn)，
將y=-2x+t代入y=$\frac{1}{4}$x²-x+6，得$\frac{1}{4}$x²+x+6-t=0，
則△=1²-4×$\frac{1}{4}$（6-t）≥0，
解得t≥5，
即直線y=-2x至少向上平移5個(gè)單位才能與新拋物線有交點(diǎn)；

②由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+5}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-x+6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=9}\end{array}\right.$，
即點(diǎn)Q坐標(biāo)為（-2，9）時(shí)，到直線y=-2x的距離最短．
如圖2，過(guò)點(diǎn)Q作QR⊥直線y=-2x于點(diǎn)R，則RQ為所求．
設(shè)直線RQ的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+p，
將Q（-2，9）代入，得9=$\frac{1}{2}$×（-2）+p，
解得p=10，
則直線RQ的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+10．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+10}\\{y=-2x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=8}\end{array}\right.$，
即R（-4，8），
又Q（-2，9），
所以RQ=$\sqrt{（-2+4）^{2}+（9-8）^{2}}$=$\sqrt{5}$．
故新拋物線上的動(dòng)點(diǎn)Q到直線y=-2x的最短距離是$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，拋物線與直線的平移規(guī)律，線段垂直平分線的判定，兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，互相垂直的兩條直線斜率之積為-1，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離的求法，兩點(diǎn)間的距離公式等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)．利用數(shù)形結(jié)合與方程思想是解題的關(guān)鍵．