Question

15．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，3），點(diǎn)A作AB⊥y軸，垂足為點(diǎn)B，連接0A，拋物線y=-x²-2x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與x軸正半軸交于點(diǎn)C．
（1）求C的值；
（2）如圖②，將△OAB沿直線OA翻折，記點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，向左平移拋物線，使點(diǎn)B'恰好落在平移后隨物線的對(duì)稱軸上，設(shè)平移后拋物線的對(duì)稱軸為P，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖③，連接BC．設(shè)點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)F在拋物線上．如果以點(diǎn)B、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）如圖①，利用AB⊥y軸得到B（0，3），然后把B點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可求出c的值；
（2）如圖②，設(shè)B′（a，b），利用折疊的性質(zhì)得AB′=AB=2，OB′=OB=3，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到$\left\{\begin{array}{l}{（a+2）^{2}+（b-3）^{2}={2}^{2}}\\{{a}^{2}+^{2}={3}^{2}}\end{array}\right.$，則解方程組可得到B′（-$\frac{36}{13}$，$\frac{15}{13}$），于是可確定P；
（3）如圖③，先確定C（1，0），由于BC只能為邊，不能為對(duì)角線，則應(yīng)用EF∥BC，EF=BC可得到F點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3或-3，當(dāng)y=3時(shí)，-x²-2x+3=3，解方程確定此時(shí)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，3），利用平行四邊形的性質(zhì)可得到對(duì)應(yīng)E點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）；當(dāng)y=-3時(shí)，-x²-2x+3=-3，解得方程得到F點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1+$\sqrt{7}$，-3）或（-1-$\sqrt{7}$，-3），利用平行四邊形的性質(zhì)可確定對(duì)應(yīng)的E點(diǎn)的坐標(biāo)（-2+$\sqrt{7}$，0）或（-2-$\sqrt{7}$，0）．

解答 解：（1）如圖①，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，3），點(diǎn)A作AB⊥y軸，
∴B（0，3），
把B（0，3）代入y=-x²-2x+c得c=3；

（2）如圖②，設(shè)B′（a，b），
∵△OAB沿直線OA翻折，記點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，
∴AB′=AB=2，OB′=OB=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（a+2）^{2}+（b-3）^{2}={2}^{2}}\\{{a}^{2}+^{2}={3}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{36}{13}}\\{b=\frac{15}{13}}\end{array}\right.$，
∴B′（-$\frac{36}{13}$，$\frac{15}{13}$），
∵點(diǎn)B'恰好落在平移后隨物線的對(duì)稱軸上，
∴P（-$\frac{36}{13}$，0）；

（3）如圖③，拋物線解析式為y=-x²-2x+3，當(dāng)y=0時(shí)，-x²-2x+3=0，解得x₁=1，x₂=-3，則C（1，0），
以點(diǎn)B、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則BC為邊，不能為對(duì)角線，
∴EF∥BC，EF=BC，
∴F點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3或-3，
當(dāng)y=3時(shí)，-x²-2x+3=3，解得x₁=0，x₂=-2，此時(shí)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，3），所以E點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），
當(dāng)y=-3時(shí)，-x²-2x+3=-3，解得x₁=-1+$\sqrt{7}$，x₂=-1-$\sqrt{7}$，
此時(shí)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1+$\sqrt{7}$，-3）或（-1-$\sqrt{7}$，-3），對(duì)應(yīng)的E點(diǎn)的坐標(biāo)（-2+$\sqrt{7}$，0）或（-2-$\sqrt{7}$，0），
綜上所述，E點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），（-2+$\sqrt{7}$，0）或（-2-$\sqrt{7}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；能運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算線段的長(zhǎng)；會(huì)應(yīng)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．