Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點B的坐標(biāo)（1，0），OA=OC=3OB，拋物線經(jīng)過A、B、C三點，記拋物線頂點為點E．
（1）A（

 

）；C（

 

）
（2）求拋物線的解析式及E點坐標(biāo)；
（3）若點P為線段AC上的一個動點（不與A、C重合），直線PB與拋物線交于點D，連接DA，DC．
①計算△ACE的面積；
②是否存在點D，使得S_△ADC=

1

2

S_△ACE？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（4）在（3）的條件下，當(dāng)△PBC為等腰三角形時，直接寫出點P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)OA=OC=3OB，可得OA、OC的長度，根據(jù)線段的長度，可得點的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得拋物線的解析式，根據(jù)解析式，可得頂點坐標(biāo)；
（3）①根據(jù)角的和差，可得∠ACE的度數(shù)，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；
②根據(jù)等底三角形面積的關(guān)系，可得三角形高之間的關(guān)系，可得答案；
（4）根據(jù)等腰三角形的判定，分類討論：PB=PC，PB=BC，PC=BC，可得答案．

解答：解：（1）由點B的坐標(biāo)（1，0），OA=OC=3OB，得
OA=OC=3，．
A（-3，0），C（ 0，-3）；
（2）設(shè)拋物線的解析式y(tǒng)=ax²+bx+c，函數(shù)圖象經(jīng)過點A、B、C，得

a+b+c=0 c=-3 (-3)2a-3b+c=0

，解得

a=1 b=2 c=-3

，
拋物線的解析式為y=x²+2x-3，
頂點坐標(biāo)是x=-

b

2a

=-

2

2×1

=-1，y=

4ac-b2

4a

=

4×1×(-3)-22

4×1

=-4，
E（-1，-4）；
（3）①由題意可知∠ACO=45°，CE與y軸的負(fù)半軸所成的角也為45°，
∴∠ACE=90°，AC=3

2

，CE=

2

∴S_△ACE=

1

2

AC•CE=

1

2

×3

2

×

2

=2；
②存在存在點D，使得S_△ADC=

1

2

S_△ACE，
D到AC的距離為CE的一半，
設(shè)D（x，x²+2x-3），直線AC的解析式為y=-x-3，即y+x+3=0，
D到AC的距離為

|x+x2+2x-3|

12+12

=

2

2

，
解得x₁=

-3+ 5

2

，y₁=x²+2x-3=

-5- 5

2

，
x₂=

-3- 5

2

，y₂=

-5+ 5

2

；
D(

-3+ 5

2

，

-5- 5

2

)，D(

-3- 5

2

，

-5+ 5

2

)；
（4）設(shè)P（x，-x-3），BC=

OB2+OC2

=

10

，
①當(dāng)PB=PC時，

(x-1)2+(-x-3-0)2

=

(x-0)2+(-x-3-3)2

，
化簡，得
4x=-13．
解得x=-

13

4

，y=-x-3=

1

4

，p（-

13

4

，

1

4

）；
②當(dāng)PB=BC時，

(x-1)2+(-x-3)2

=

10

，
化簡，得2x²+4x=0．
解得x=-2或x=0（不符合題意的要舍去），y=-x-3=-（-2）-3=-1，P（-2，-1）；
③當(dāng)PC=BC時，

(x-0)2+(-x-3-3)2

=

10

，
化簡，得x²+6x+13=0，△=b²-4ac=6²-4×1×13=-16，方程無實數(shù)根；
當(dāng)△PBC為等腰三角形時，點P的坐標(biāo)（-

13

4

，

1

4

），（-2，-1）．

點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等底三角形的面積與高的關(guān)系，等腰三角形的判定，分類討論是解題關(guān)鍵．