Question

20．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，連接EF交AP于點G．給出以下四個結(jié)論：①∠B=∠C=45°；②AE=CF；③△EPF是等腰直角三角形；④四邊形AEPF的面積是△ABC面積的一半．其中正確的有（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠B=∠C，即可判斷①；根據(jù)等腰直角三角形求出AP⊥BC，AP=$\frac{1}{2}$BC=PC，∠BAP=∠CAP=45°=∠C，求出∠FPC=∠EPA，根據(jù)ASA推出△APE≌△CPF，推出AE=CF，PE=PF，S_△APE=S_△CPF，再逐個判斷即可．

解答 解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}×$（180°-90°）=45°，∴①正確；
：∵AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，
∴AP⊥BC，AP=$\frac{1}{2}$BC=PC，∠BAP=∠CAP=45°=∠C．
∵∠APF+∠FPC=90°，∠APF+∠APE=90°，
∴∠FPC=∠EPA，
在△APE和△CPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAP=∠C}\\{AP=PC}\\{∠EPA=∠FPC}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF，∴②正確；
PE=PF，
∵∠EPF=90°，
∴△EPF是等腰直角三角形，∴③正確；
∵△APE≌△CPF，
∴S_△APE=S_△CPF，
∵BP=CP，
∴S_△APC=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴四邊形AEPF的面積是
S=S_△APE+S_△APF
=S_△CPF+S_△APF
=S_△APC
=$\frac{1}{2}$S_△ABC，∴④正確；
即正確的有4個．
故選D．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能求出△APE≌△CPF是解此題的關(guān)鍵．