Question

已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點P是斜邊AB上一動點，過點P作CP的垂線，垂直為D，AD的延長線交邊CB于點E．
（1）如圖1，若∠PCB=22.5°，求證：AC+CE=AB；
（2）如圖2，若∠PCB=30°，過點B作CP的垂線，垂足為F，求證：CF=3DE．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）連接PE，先利用同角的余角相等得到∠BAE=∠CAE，從而證得△ACD≌△APD，得到AC=AP，再證明△ACE≌△APE，得到∠APE=∠ACE=90，得到∠PEB=∠PBE=45°得到EP=BP=CE，從而得出結論；（2）先利用直角三角形的性質，可證得AD=3DE，再證明△ACD≌△CBF，得到CF=AD，即可得到結論．

解答：解：（1）∵∠PCB=22.5°，∠CAE+∠ACD=90°，∠PCB+∠ACD=90°
∴∠CAE=22.5°
∴∠BAE=45°-22.5°=22.5°，
∴∠BAE=∠CAE
在△ACD與△APD中

∠CAD=∠PAD AD=AD ∠ADC=∠ADP

∴△ACD≌△APD
∴AC=AP
連接PE
∵AE=AE，∠PAE=∠CAE
在△ACE與△APE中

AC=AP ∠CAE=∠PAE AE=AE

∴△ACE≌△APE（SAS）
∴∠APE=∠ACE=90°   
∴∠BPE=∠APE=90°
∴∠PEB=∠PBE=45°∴EP=BP=CE，
∴AC+CE=AP+PB=AB．
（2）∵∠PCB=30°，∠CAE+∠ACD=90°，
∠PCB+∠ACD=90°
∴∠CAE=∠PCB=30°，
在Rt△CDE中，CE=2ED，在Rt△ACE中，AE=2CE，
∴AE=4DE，AD=3DE      
在△ACD和△CFB中，

∠ADC=∠CFB ∠CAE=∠PCB AC=BC

，
∴△ACD≌△CBF（AAS），
∴CF=AD=3DE

點評：本題主要考查全等三角形的判定方法和性質及同角的余角相等，直角三角形的性質等知識，熟練掌握全等三角形的判定方法和相關的性質是解決本題的關鍵．