Question

3．已知：△ABC是等邊三角形．
（1）用直尺和圓規(guī)分別作△ABC的角平分線BE、CD，BE、CD交于點O（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）過點C畫射線CF⊥BC，垂足為C，CF交射線BE于點F．
（3）求證：△OCF是等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）分別作∠ABC和∠ACB的平分線得到BE和CD；
（2）過C點作CF⊥BC于C交直線BE于F；
（3）先利用等邊三角形的性質(zhì)得∠ABC=∠ACB=60°，再根據(jù)角平分線定義得到∠CBE=∠BCD=30°，則根據(jù)三角形外角性質(zhì)可計算出∠FOC=60°，接著利用互余計算出∠F=90°-∠FBC=60°，然后根據(jù)等邊三角形的判定方法可判斷△OCF是等邊三角形．

解答 （1）解：如圖，BE、CD為作；
（2）解：如圖，CF為所作；

（3）證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BE、CD分別平分∠ABC和∠ACB，
∴∠CBE=∠BCD=30°，
∴∠FOC=∠OBC+∠OCB=60°，
∵CF⊥BC，
∴∠BCF=90°，
∴∠F=90°-∠FBC=60°，
∴△OCF是等邊三角形．

點評 本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．