Question

20．在銳角三角形ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，得到△A₁BC₁．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C₁在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求∠CC₁A₁的度數(shù)；
（2）如圖2，點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)的過(guò)程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P₁，求線段EP₁長(zhǎng)度的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁，利用等腰三角形的性質(zhì)得∠CC₁B=∠C₁CB=45°，于是得到∠CC₁A₁=∠CC₁B+∠A₁C₁B=90°；
（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，D為垂足，則點(diǎn)D在線段AC上，在Rt△BCD中利用三角函數(shù)可計(jì)算出BD=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，則當(dāng)BP與AC垂直的時(shí)候，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P₁在線段AB上時(shí)，EP₁最小，最小值=EP₁=BP₁-BE=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-2；當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P₁在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，EP₁最大，最大值=EP₁=BC+BE=7．

解答 解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁，
∴∠CC₁B=∠C₁CB=45°，
∴∠CC₁A₁=∠CC₁B+∠A₁C₁B=45°+45°=90°；
（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，D為垂足，
∵△ABC為銳角三角形，
∴點(diǎn)D在線段AC上，
在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)，BP與AC垂直的時(shí)候，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P₁在線段AB上時(shí)，EP₁最小，最小值為：EP₁=BP₁-BE=BD-BE=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-2；
當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P₁在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，EP₁最大，最大值為：EP₁=BC+BE=2+5=7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．