Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），P是第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，連接PO，PA，若∠POA=m°，∠PAO=n°，則我們把（m°，n°）叫做點(diǎn)P 的“雙角坐標(biāo)”．例如，點(diǎn)（1，1）的“雙角坐標(biāo)”為（45°，90°）．
（1）點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）的“雙角坐標(biāo)”為（60°，60°）；
（2）若點(diǎn)P到x軸的距離為$\frac{1}{2}$，則m+n的最小值為90．

Answer 1

分析 （1）分別求出tan∠POA、tan∠PAO即可得∠POA、∠PAO的度數(shù)，從而得出答案；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知若要使m+n取得最小值，即∠POA+∠PAO取得最小值，則∠OPA需取得最大值，OA中點(diǎn)為圓心，$\frac{1}{2}$為半徑畫圓，與直線y=$\frac{1}{2}$相切于點(diǎn)P，由∠OPA=∠1＞∠OP′A知此時(shí)∠OPA最大，∠OPA=90°，即可得出答案．

解答 解：（1）∵P（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），OA=1，
∴tan∠POA=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，tan∠PAO=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴∠POA=60°，∠PAO=60°，
即點(diǎn)P的“雙角坐標(biāo)”為（60°，60°），
故答案為：（60°，60°）；

（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知若要使m+n取得最小值，即∠POA+∠PAO取得最小值，
則∠OPA需取得最大值，
如圖，

∵點(diǎn)P到x軸的距離為$\frac{1}{2}$，OA=1，
∴OA中點(diǎn)為圓心，$\frac{1}{2}$為半徑畫圓，與直線y=$\frac{1}{2}$相切于點(diǎn)P，
在直線y=$\frac{1}{2}$上任取一點(diǎn)P′，連接P′O、P′A，P′O交圓于點(diǎn)Q，
∵∠OPA=∠1＞∠OP′A，
此時(shí)∠OPA最大，∠OPA=90°，
∴m+n的最小值為90，
故答案為：90．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、銳角的三角函數(shù)、三角形的內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)及圓周角定理，根據(jù)內(nèi)角和定理推出m+n取得最小值即為∠OPA取得最大值，且找到滿足條件的點(diǎn)P位置是關(guān)鍵．