Question

17．如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A（-6，0），B（2，0），C（0，-6）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P為第三象限內(nèi)拋物線上的一點，設(shè)△PAC的面積為S，求S的最大值并求出此時點P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)拋物線的頂點為D，DE⊥x軸于點E，在y軸上是否存在點M，使得△ADM是直角三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）已知拋物線上的三點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出該二次函數(shù)的解析式；
（2）過點P作x軸的垂線，交AC于點N，先運用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，設(shè)P點坐標(biāo)為（x，$\frac{1}{2}$x²+2x-6），根據(jù)AC的解析式表示出點N的坐標(biāo)，再根據(jù)S_△PAC=S_△PAN+S_△PCN就可以表示出△PAC的面積，運用頂點式就可以求出結(jié)論；
（3）分三種情況進行討論：①以A為直角頂點；②以D為直角頂點；③以M為直角頂點；設(shè)點M的坐標(biāo)為（0，t），根據(jù)勾股定理列出方程，求出t的值即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A（-6，0），B（2，0），C（0，-6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{36a-6b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{c=-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=2}\\{c=-6}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²+2x-6；

（2）如圖，過點P作x軸的垂線，交AC于點N．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+m，由題意，得
$\left\{\begin{array}{l}{-6k+m=0}\\{m=-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為：y=-x-6．
設(shè)P點坐標(biāo)為（x，$\frac{1}{2}$x²+2x-6），則點N的坐標(biāo)為（x，-x-6），
∴PN=PE-NE=-（$\frac{1}{2}$x²+2x-6）+（-x-6）=-$\frac{1}{2}$x²-3x．
∵S_△PAC=S_△PAN+S_△PCN，
∴S=$\frac{1}{2}$PN•OA=$\frac{1}{2}$×6（-$\frac{1}{2}$x²-3x）=-$\frac{3}{2}$（x+3）²+$\frac{27}{2}$，
∴當(dāng)x=-3時，S有最大值$\frac{27}{2}$，此時點P的坐標(biāo)為（-3，-$\frac{15}{2}$）；

（3）在y軸上是存在點M，能夠使得△ADM是直角三角形．理由如下：
∵y=$\frac{1}{2}$x²+2x-6=$\frac{1}{2}$（x+2）²-8，
∴頂點D的坐標(biāo)為（-2，-8），
∵A（-6，0），
∴AD²=（-2+6）²+（-8-0）²=80．
設(shè)點M的坐標(biāo)為（0，t），分三種情況進行討論：
①當(dāng)A為直角頂點時，如圖3①，
由勾股定理，得AM²+AD²=DM²，
即（0+6）²+（t-0）²+80=（0+2）²+（t+8）²，
解得t=3，
所以點M的坐標(biāo)為（0，3）；
②當(dāng)D為直角頂點時，如圖3②，
由勾股定理，得DM²+AD²=AM²，
即（0+2）²+（t+8）²+80=（0+6）²+（t-0）²，
解得t=-7，
所以點M的坐標(biāo)為（0，-7）；
③當(dāng)M為直角頂點時，如圖3③，
由勾股定理，得AM²+DM²=AD²，
即（0+6）²+（t-0）²+（0+2）²+（t+8）²=80，
解得t=-2或-6，
所以點M的坐標(biāo)為（0，-2）或（0，-6）；
綜上可知，在y軸上存在點M，能夠使得△ADM是直角三角形，此時點M的坐標(biāo)為（0，3）或（0，-7）或（0，-2）或（0，-6）．

點評 本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，三角形的面積，二次函數(shù)的頂點式的運用，勾股定理等知識，難度適中．運用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．