Question

如圖，已知△ABC是等邊三角形，點D，F(xiàn)分別在線段BC，AB上，連接FC，AD，DE∥FC，EF∥DC
（1）若D，F(xiàn)分別是BC，AB的中點，連接FD，求證：EF=FD；
（2）連接AE，若BF=CD，求證：△AED是等邊三角形．

Answer 1

考點：三角形中位線定理,等邊三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線

專題：證明題

分析：（1）求出四邊形CDEF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊相等可得EF=CD，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AD⊥BC，CF⊥AB，BF=DF=CD，然后等量代換即可得證；
（2）根據(jù)等邊三角形的每一個角都是60°可得∠B=∠ACD=60°，三條邊都相等可得BC=AC，然后利用“邊角邊”證明△BCF和△ACD全等，根全等三角形對應邊相等可得CF=AD，全等三角形對應角相等可得∠CAD=∠BCF，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得CF=DE，∠BCF=∠BDE，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠ADE=∠ACB=60°，然后根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形證明即可．

解答：（1）證明：∵DE∥FC，EF∥DC，
∴四邊形CDEF是平行四邊形，
∴EF=CD，
∵D，F(xiàn)分別是BC，AB的中點，
∴AD⊥BC，CF⊥AB，BF=CD=

1

2

AB，
又∵FD=BF=

1

2

AB，
∴FD=CD，
∴EF=FD；

（2）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠ACD=60°，BC=AC，
在△BCF和△ACD中，

BC=AC ∠B=∠ACD BF=CD

，
∴△BCF≌△ACD（SAS），
∴CF=AD，∠CAD=∠BCF，
∵∵DE∥FC，EF∥DC，
∴四邊形CDEF是平行四邊形，
∴CF=DE，
∵DE∥FC，
∴∠BCF=∠BDE，
由三角形的外角性質(zhì)得，∠CAD+∠ACB=∠BDE+∠ADE，
∴∠ADE=∠ACB=60°，
∴△AED是等邊三角形．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)與判定方法并準確識圖是解題的關鍵．