Question

5．如圖，已知AB為⊙O的直徑，過⊙O上的點C的切線交AB的延長線于點E，AD⊥EC于點D且交⊙O于點F，連接BC，CF，AC．
（1）求證：BC=CF；
（2）若AD=6，DE=8，求CD的長．
（3）試探究AB，AF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線的性質(zhì)首先得出CO⊥ED，再利用平行線的判定得出CO∥AD，進(jìn)而利用圓周角、圓心角定理得出BC=CF；
（2）首先求出△EOC∽△EAD，由相似三角形的性質(zhì)可知：$\frac{EO}{EA}=\frac{OC}{AD}$=$\frac{EC}{ED}$，設(shè)⊙O的半徑為r，則OE=10-r，進(jìn)而得出r的長，然后可求得EC的長，從而得到CD的長；
（3）利用全等三角形的判定得出Rt△AGC≌Rt△ADC，進(jìn)而得出Rt△CGB≌Rt△CDF，即可求出AD+DF=AB得出答案即可．

解答 （1）證明：如圖1所示：連接OC．

∵ED切⊙O于點C，
∴CO⊥ED．
∵AD⊥EC，
∴CO∥AD．
∴∠OCA=∠CAD．
∵∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠CAD．
∴$\widehat{BC}=\widehat{CF}$．
∴BC=CF．
（2）解：如圖1所示：
∵在Rt△ADE中，AD=6，DE=8，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=10．
∵CO∥AD，
∴△EOC∽△EAD．
∴$\frac{EO}{EA}=\frac{OC}{AD}$=$\frac{EC}{ED}$．
設(shè)⊙O的半徑為r，則OE=10-r，
∴$\frac{10-r}{10}=\frac{r}{6}$．
∴r=$\frac{15}{4}$．
∴$\frac{\frac{15}{4}}{6}=\frac{EC}{8}$．
∴EC=5．
∴CD=3．
（3）AF+2DF=AB．
理由：過C作CG⊥AB于G，連接OC．

∵∠OAC=∠CAD，AD⊥EC，
∴CG=CD，
在Rt△AGC和Rt△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{CG=CD}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴Rt△AGC≌Rt△ADC（HL）．
∴AG=AD，
在Rt△CGB和Rt△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=FC}\\{CG=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△CGB≌Rt△CDF（HL），
∴GB=DF．
∵AG+GB=AB，
∴AD+DF=AB．
∴AF+DF+DF=AB．
∴AF+2DF=AB．

點評 此題主要考查了切線的性質(zhì)定理和圓周角及弧的關(guān)系、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出GB=DF是解題關(guān)鍵．