Question

4．已知函數(shù)y=-（x-m）²+n．
（1）若它的圖象經(jīng)過A（3，0），B（2，3）．
①試求m、n的值；
②記圖象與y軸的交點為C，頂點為M，求tan∠CMA的值．
（2）若它的圖象與x軸兩交點以及頂點所圍成的三角形中有一個角為120°，求n的值．

Answer 1

分析 （1）①將點A、B的坐標代入函數(shù)解析式，求出m、n的值；
②求出AC、MC、AM的長度根據(jù)勾股定理可得△AMC為直角三角形，然后求出tan∠CMA的值；
（2）分別求出兩交點和頂點的坐標，由兩交點以及頂點所圍成的三角形中有一個角為120°，可得頂角為120°，然后根據(jù)三角函數(shù)的知識求解．

解答 解：（1）①將點A、B的坐標代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{-（3-m）^{2}+n=0}\\{-（2-m）^{2}+n=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=4}\end{array}\right.$；
②由①得，函數(shù)解析式為：y=-（x-1）²+4，
令x=0得，y=3，
∴點C坐標為（0，3），
∴CM=$\sqrt{（1-0）^{2}+（4-3）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
AC=$\sqrt{（3-0）^{2}+（0-3）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
AM=$\sqrt{（3-1）^{2}+（0-4）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵CM²+AC²=AM²=20，
∴△ACM為直角三角形，
∴tan∠CMA=$\frac{AC}{CM}$=$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=3；
（2）設頂點為C，兩交點為A、B，作CD⊥AB于點D，如右圖所示，
要使兩交點以及頂點所圍成的三角形中有一個角為120°，
這個角為∠ACB，
∵解析式為y=-（x-m）²+n，
∴C（m，n），A（m-$\sqrt{n}$，0），B（m+$\sqrt{n}$，0），
∵∠ACB=120°，CD⊥AB，
∴tan∠ACD=tan60°=$\frac{AD}{CD}$=$\sqrt{3}$，
即$\frac{\sqrt{n}}{n}$=$\sqrt{3}$，
解得：n=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合應用，涉及了待定系數(shù)法確定函數(shù)關系式、勾股定理的應用、直角三角形的判定、三角函數(shù)等知識，知識點較多，綜合性較強，注意運用數(shù)形結合的方法求解．