Question

如圖，為正方形邊上任一點(diǎn)，于點(diǎn)，在 的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，使，連接，.

（1）求證：；
（2）的平分線交于點(diǎn)，連接，求證：；

Answer 1

（1）由BG⊥AP，AG=GE可得BG垂直平分線段AE，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AB=BE，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC，即可證得結(jié)論；
（2）連接CN，延長(zhǎng)BN交CE于H，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AN于M，可證得Rt△ADM≌Rt△ABG，即得DM=AG，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得CH=HE，即可證得△BCN≌△BEN，從而可知△CEN是等腰△，延長(zhǎng)AE交DC延長(zhǎng)線于F，可得∠BAG=∠BEG=∠CFE=∠BCN，則可證得Rt△DMN，Rt△BGN都是等腰直角三角形，問(wèn)題得證.

解析試題分析：（1）∵BG⊥AP，AG=GE，
∴BG垂直平分線段AE，
∴AB=BE，
在正方形ABCD中，AB=BC，
∴BE=BC；
（2）連接CN，延長(zhǎng)BN交CE于H，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AN于M，

顯然Rt△ADM≌Rt△ABG，
∴DM=AG，
∵BN平分∠CBE，
∴CH=HE，
∵∠CBN=∠EBN，BE=BC，BN=BN，
∴△BCN≌△BEN，
∴CN=NE，即△CEN是等腰△，
延長(zhǎng)AE交DC延長(zhǎng)線于F，則有∠BAG=∠BEG=∠CFE=∠BCN，
∴A，B，C，D，N五點(diǎn)共圓，
∴∠AND=∠BNG=45°[AB弦所對(duì)圓周角=45°]
∴Rt△DMN，Rt△BGN都是等腰直角三角形，
∴DM=AG=DN，GN=BN，AG+GN=AN=BN+DN.
考點(diǎn)：線段垂直平分線段判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理
點(diǎn)評(píng)：本題綜合性較強(qiáng)，難度較大，準(zhǔn)確作出輔助線，綜合運(yùn)用各定理和性質(zhì)并分析題目用已知條件和所要證明的結(jié)論之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．