Question

如圖，在正方形ABCD的邊BC上任取一點M，過點C作CN⊥DM交AB于N，設正方形對角線交點為O．
（1）求證：△CDM≌△BCN；
（2）試確定OM與ON之間的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先由正方形的性質(zhì)和CN⊥DM推出∴∠CDM+∠DCN=90°∠BCN+∠DCN=90°，即得∴∠CDM=∠BCN，從而得證；
（2）由（1）先推出CM=BN，所以推出△OCM≌△OBN，得出OM=ON，∠COM=∠BON，再推出∴BON+∠BOM=90°=∠MON，即OM⊥ON．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD=BC，CO=BO，∠BCD=∠ABC=90°∠OCM=∠OBN=45°，BD⊥AC，
∴∠BOC=90°，
∵CN⊥DM，
∴∠CDM+∠DCN=90°∠BCN+∠DCN=90°，
∴∠CDM=∠BCN，
在△CDM和△BCN中，

∠CDM=∠BCN CD=BC ∠BCD=∠ABC

，
∴△CDM≌△BCN（ASA）；

（2）解：OM與ON關系：OM=ON，OM⊥ON，
理由如下：∵△CDM≌△BCN（ASA），
∴CM=BN，
在△OCM和△OBN中，

OC=OB ∠OCM=∠OBN CM=BN

，
∴△OCM≌△OBN，
∴OM=ON，∠COM=∠BON，
∴∠COM+∠BOM=∠BON+∠BOM，
又∵∠BOC=∠COM+∠BOM=90°，
∴∠BON+∠BOM=90°=∠MON，
∴OM⊥ON．

點評：此題考查的知識點是正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，關鍵是由正方形的性質(zhì)通過證三角形全等得出結(jié)論．