Question

如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的圓O交BC于點P，PD⊥AC于點D
（1）求證：DP是圓O的切線；
（2）若∠ACB=30°，CP=1cm，連接OD，求OD的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）利用圓周角定理得出∠APB=90°，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)得出PC=PB，再得出PO是△BCA的中位線，即可得出OP⊥PD，得出答案即可；
（2）利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出PD，PO的長，再利用勾股定理求出答案．

解答：（1）證明：如圖所示：連接AP，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠APB=90°，
又∵AB=AC，
∴PC=PB（三線合一），
∵AO=BO，
∴PO是△BCA的中位線，
∴PO∥AC，
∵PD⊥AC，
∴OP⊥PD，
∴DP是圓O的切線；

（2）解：如圖所示：連接OD，
∵∠ACB=30°，AC=AB，CP=1cm
∴∠ABC=30°，PD=

1

2

PC=

1

2

cm，PB=PC=1cm，
∴cos30°=

PB

AB

=

1

AB

=

3

2

，
解得：AB=

2 3

3

（cm），
則AO=OB=PO=

3

3

cm，
故DO=

PD2+PO2

=

( 1 2 )2+( 3 3 )2

=

21

6

（cm）．

點評：此題主要考查了切線的判定以及等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識，得出PO是△BCA的中位線是解題關(guān)鍵．