Question

如圖Rt△ABC中，AB=AC=2，P是斜邊BC中點，∠EPF兩邊分別交邊AB、AC于E、F，且AF=BE．
（1）點A到B C的距離等于

 

；
（2）說出△PEF的形狀：

 

；
（3）用不等式表示EF取值范圍：

 

；
（4）設FC=x，當x為什么值時，△PCF是等腰三角形？說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）利用等腰三角形的性質可知AP⊥BC，且可求得AP=

1

2

BC，再利用勾股定理求得BC即可求出點A到BC的距離；
（2）連接AP，可證明△APE≌△CFP，從而可判定△PEF的形狀；
（3）由（2）可知△PEF為等腰直角三角形，所以EF的長與PE和PF有關，求出PE的取值范圍即可得出EF的取值范圍；
（4）分CF為底和腰兩種情況進行求值即可．

解答：解：（1）連接AP，
∵AB=AC，P為BC中點，
∴AP⊥BC，
∵AB=AC=2，
∴BC=2

2

，
∴AP=

1

2

BC=

2

，
即點A到BC的距離為

2

，
故答案為：

2

；
（2）∵AB=AC，BE=AF，
∴AE=CF，
由（1）知AP=CP，且AP平分∠BAC，
在△AEP和△CFP中，

AE=CF ∠EAP=∠FCP AP=CP

，
∴△AEP≌△CFP（SAS），
∴PE=PF，∠APE=∠CPF，
∵∠APF+∠CPF=90°，
∴∠APE+∠APF=90°，
∴△PEF為等腰直角三角形，
故答案為：等腰直角三角形；
（3）∵E點在AB上，
∴當E點在A點或B點時PE最大，此時PE=AP=

2

，
當E點為AB中點時PE最小，此時PE=

1

2

AC=1，
∴1＜EF＜

2

，
故答案為：1＜EF＜

2

；
（4）當x=1或2時，△PCF為等腰三角形，理由如下：
當△PCF為等腰三角形時，因為∠C=45°，所以只有PF=CF或PC=PF，
當PF=CF時，此時PF⊥CF，可知F為AC中點，所以CF=

1

2

AC=1，
當PC=PF時，此時PC⊥PF，即F與點A重合，此時CF=AC=2，
綜上可知當x為1或2時△PCF為等腰三角形．

點評：本題主要考查等腰直角三角形的性質及全等三角形的判定和性質，掌握等腰三角形的性質及全等三角形的判定方法是解題的關鍵．