Question

5．如圖，在正方形ABCD中，點P是AB的中點，連接DP，過點B作BE⊥DP的延長線于點E，連接AE，過點A作AF⊥AE，AF交DP于點F，連接BF、CF．下列結論：
①△ABE≌△ADF；②FB=AB；③FC=EF；④BF⊥AF；⑤PF=EP+EB．
其中正確的命題個數有（　　）

• A． 2個
• B． 3個
• C． 4個
• D． 5個

Answer 1

分析 根據已知和正方形的性質推出∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，AB=AD，證△ABE≌△ADF即可判斷①；取EF的中點M，連接AM，推出AM=MF=EM=DF，證∠AMB=∠AMB，BM=BM，AM=MF，推出△ABM≌△FBM即可判斷②④；求出∠FDC=∠EBF，推出△BEF≌△DFC即可判斷③；證明△AMP≌△BEP，利用線段和差即可判斷⑤，可得出答案．

解答 解：
∵正方形ABCD，BE⊥ED，EA⊥FA，
∴AB=AD=CD=BC，∠BAD=∠EAF=90°=∠BEF，
∵∠APD=∠EPB，
∴∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，
在△ABE和△ADF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAB=∠DAF}\\{AB=AD}\\{∠EBA=∠ADF}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ADF（ASA），
故①正確；
∴AE=AF，BE=DF，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
如圖，取EF的中點M，連接AM、BM，
∴AM⊥EF，AM=EM=FM，
∴BE∥AM，
∵P為AB中點，
∴AP=BP，
∴AM=BE=DF，
∴∠EMB=∠EBM=45°，
∴∠AMB=90°+45°=135°=∠AMB，
在△ABM和△FBM中
$\left\{\begin{array}{l}{AM=FM}\\{∠AMB=∠FMB}\\{BM=BM}\end{array}\right.$
∴△ABM≌△FBM（SAS），
∴AB=BF，
故②正確；
∴∠BAF=∠BFA，
∴∠BFA≠90°，
故④不正確；
∴∠BAM=∠BFM，
∵∠BEF=90°，AM⊥EF，
∴∠BAM+∠APM=90°，∠EBF+∠EFB=90°，
∴∠APF=∠EBF，
∵AB∥CD，
∴∠APD=∠FDC，
∴∠EBF=∠FDC，且BE=DF，BF=CD，
在△BEF和△DFC中
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DF}\\{∠EBF=∠DFC}\\{BF=DC}\end{array}\right.$
∴△BEF≌△DFC（SAS），
∴CF=EF，
故③正確；
在△AMP和△BEP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠APM=∠BPE}\\{∠AMP=∠BEP}\\{AP=BP}\end{array}\right.$
∴△AMP≌△BEP（AAS），
∴AM=BE=MF，PM=PE，
∴PF=PM+ME=PE+AM=PE+BE，
故⑤正確；
綜上可知正確的結論有①②③⑤，共四個，
故選C．

點評 本題主要考查對正方形的性質，等腰直角三角形，直角三角形斜邊上的中線性質，全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．