Question

已知二次函數(shù)y=x²-2bx+c的圖象與x軸只有一個交點．
（1）請寫出b、c的關(guān)系式；
（2）設(shè)直線y=7與該拋物線的交點為A、B，求AB的長；
（3）若P（a，-a）不在曲線y=x²-2bx+c上，請求出b的取值范圍．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征

專題：

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，則b²-4ac=0，由此可得到b、c應(yīng)滿足關(guān)系；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系x₁+x₂=2b，x₁x₂=c-7，結(jié)合b²=c，即可求得AB的長．
（3）由題意可知方程-x=x²-2bx+c沒有實數(shù)根，根據(jù)根的判別式即可求得．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=x²-2bx+c的圖象與x軸只有一個交點，
令y=0得：x²-2bx+c=0，
∵△=（-2b）²-4c=0，
∴b²=c．
（2）設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），
∵直線y=7與拋物線的交點A、B的橫坐標(biāo)就是方程x²-2bx+c-7=0的兩個根x₁、x₂．
∴AB=|x₁-x₂|，
∵x₁+x₂=2b，x₁x₂=c-7，b²=c．
∴AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(2b)2-4(c-7)

=

4b2-4c+28

=

28

=2

7

．
（3）P（a，-a）不在曲線y=x²-2bx+c上，
∴直線y=-x與曲線y=x²-2bx+c沒有交點，
即方程-x=x²-2bx+c沒有實數(shù)根，
∴x²+（1-2b）x+c=0的△＜0，
即（1-2b）²-4c＜0，
整理得，1-4b+4b²-4c＜0，
∵b²=c．
∴1-4b＜0，
∴b＞

1

4

．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，主要考查了根的判別式，二次函數(shù)與直線的交點問題，二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，題目的綜合性較強，難度不小，對學(xué)生的解題能力要求很高，是一道不錯的中考壓軸題．