Question

15．（1）如圖1，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，在AB上截取AE=AC，過點(diǎn)E作EF∥BC交AD于點(diǎn)F．求證：四邊形CDEF是菱形；
（2）如圖2，△ABC中，AD平分△ABC的外角∠EAC交BC的延長線于點(diǎn)D，在BA的延長線上截取AE=AC，過點(diǎn)E作EF∥BC交DA的延長線于點(diǎn)F．四邊形CDEF還是菱形嗎？如果是，請證明；如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接由SAS得出△ADE≌△ADC，進(jìn)而得出DE=DC，∠ADE=∠ADC．再由SAS證明△AFE≌△AFC，得出EF=CF．由EF∥BC得出∠EFD=∠ADC，從而∠EFD=∠ADE，根據(jù)等角對等邊得出DE=EF，從而DE=EF=CF=DC，由菱形的判定可知四邊形CDEF是菱形．
（2）首先由SAS證出△ADE≌△ADC，△AFE≌△AFC，得出DE=DC，∠ADE=∠ADC，EF=CF．然后由EF∥BC，得出∠EFD=∠ADC，從而∠EFD=∠ADE，根據(jù)等邊對等角得出DE=EF，則DE=EF=CF=DC，由菱形的判定可知四邊形CDEF是菱形．

解答 （1）證明：在△ADE和△ADC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAF=∠CAF}\\{AD=AD}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△ADC（SAS）；
∴DE=DC，∠ADE=∠ADC
同理△AFE≌△AFC，
∴EF=CF
∵EF∥BC
∴∠EFD=∠ADC，
∴∠EFD=∠ADE，
∴DE=EF，
∴DE=EF=CF=DC，
∴四邊形CDEF是菱形．

（2）解：四邊形CDEF是菱形．理由如下：
在△ADE和△ADC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAF=∠CAF}\\{AD=AD}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴DE=DC，∠ADE=∠ADC．
同理△AFE≌△AFC，
∴EF=CF．
∵EF∥BC，
∴∠EFD=∠ADC，
∴∠EFD=∠ADE，
∴DE=EF，
∴DE=EF=CF=DC，
∴四邊形CDEF是菱形．

點(diǎn)評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、平行線等知識，正確利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．