Question

如圖，AB，BC，CD分別與⊙O相切于E，F，G．且AB∥CD．BO=6cm，CO=8cm．

（1）求證：BO⊥CO；

（2）求BE和CG的長．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）6.4cm．

【解析】

試題分析：（1）由AB∥CD得出∠ABC+∠BCD=180°，根據(jù)切線長定理得出OB、OC平分∠EBF和∠BCG，也就得出了∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠DCB）=×180°=90°．從而證得∠BOC是個直角，從而得出BO⊥CO；

（2）根據(jù)勾股定理求得AB=10cm，根據(jù)RT△BOF∽RT△BCO得出BF=3.6cm，根據(jù)切線長定理得出BE=BF=3.6cm，CG=CF，從而求得BE和CG的長．

試題解析：【解析】
（1）證明：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°.

∵AB、BC、CD分別與⊙O相切于E、F、G，∴BO平分∠ABC，CO平分∠DCB.

∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠DCB.

∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠DCB）=×180°=90°.

∴∠BOC=90°. ∴BO⊥CO．

（2）如答圖，連接OF，則OF⊥BC，

∴Rt△BOF∽Rt△BCO. ∴.

∵在RT△BOF中，BO=6cm，CO=8cm，

∴根據(jù)勾股定理得，BC=10cm，

∴. ∴BF=3.6cm，

∵AB、BC、CD分別與⊙O相切，∴BE=BF=3.6cm，CG=CF.

∵CF=BC﹣BF=10﹣3.6=6.4cm，∴CG=CF=6.4cm．

考點：1.切線的性質；2. 切線長定理；3.三角形內角和定理；4.相似三角形的判定和性質；5.勾股定理．