Question

如圖，在銳角三角形紙片ABC中，AC＞BC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上．
（1）已知：DE∥AC，DF∥BC．
①判斷
四邊形DECF一定是什么形狀？
②裁剪
當(dāng)AC=24cm，BC=20cm，∠ACB=45°時(shí)，請(qǐng)你探索：如何剪四邊形DECF，能使它的面積最大，并證明你的結(jié)論；
（2）折疊
請(qǐng)你只用兩次折疊，確定四邊形的頂點(diǎn)D，E，C，F(xiàn)，使它恰好為菱形，并說明你的折法和理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題,二次函數(shù)的最值,菱形的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：壓軸題,探究型

分析：（1）①根據(jù)有兩組對(duì)邊互相平行的四邊形是平行四邊形即可求得，②根據(jù)△ADF∽△ABC推出對(duì)應(yīng)邊的相似比，然后進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即可得出高h(yuǎn)與x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)平行四邊形的面積公式，很容易得出面積S關(guān)于h的二次函數(shù)表達(dá)式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，就可得出面積s最大時(shí)h的值．
（2）第一步BC邊向AC邊折疊，使BC與AC重合，得到折痕交AB于D（CD為∠ACB對(duì)角線）；第二步C點(diǎn)向AB邊折疊，使C點(diǎn)與D點(diǎn)重合，得到折痕交BC邊于E，交AC邊于F；通過上述兩次折疊，得到點(diǎn)：DECF，組成的四邊形為菱形．

解答：解：（1）如圖1，①∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四邊形DECF是平行四邊形．
②作AG⊥BC，交BC于G，交DF于H，
∵∠ACB=45°，AC=24cm
∴AG=

1 2 ×AC2

=12

2

cm，
設(shè)DF=EC=x，平行四邊形的高為h，
則AH=12

2

-h，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴

DF

BC

=

12 2 -h

12 2

，
∵BC=20cm，
即：

x

20

=

12 2 -h

12 2

∴x=

12 2 -h

12 2

×20，
∵S=xh=x•

12 2 -h

12 2

×20h=20h-

5 2

6

h²．
∴h=-

b

2a

=-

20

-2× 5 2 6

=6

2

，
∵AG=12

2

cm，
∴AF=FC，
∴在AC中點(diǎn)處剪四邊形DECF，能使它的面積最大．


（2）①BC邊向AC邊折疊，使BC與AC重合，得到折痕交AB于D（CD為∠ACB的角平分線）；
②C點(diǎn)向AB邊折疊，使C點(diǎn)與D點(diǎn)重合，得到折痕交BC邊于E，交AC邊于F；
通過上述兩次折疊，得到點(diǎn)：DECF，組成的四邊形為菱形．
理由：∵CD和EF是四邊形DECF對(duì)角線，而CD和EF互相垂直且平分，
∴四邊形DECF是菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、菱形的判定、二次函數(shù)的最值．關(guān)鍵在于根據(jù)相似三角形及已知條件求出相關(guān)線段的表達(dá)式，求出二次函數(shù)表達(dá)式，即可求出結(jié)論．