Question

如圖，扇形OAB的半徑OA=2，圓心角∠AOB=120°，點(diǎn)C是弧

AB

上的動點(diǎn)，連結(jié)AC和BC，記弦AC、CB與弧

AC

、

CB

圍成的陰影部分的面積為S，則S的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：扇形面積的計算

專題：

分析：要使陰影部分的面積最小，就需要滿足四邊形AOBC的面積最大，連接AB，只需滿足△ABC的面積最大即可，從而確定點(diǎn)C的位置，點(diǎn)C位于弧AB的中點(diǎn)，從而求出四邊形AOBC的面積，由2（S_扇形AOC-S_△AOC），即可得出答案．

解答：解：連接AB，CO，過點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，
要使陰影部分的面積最小，就需要滿足四邊形AOBC的面積最大，只需滿足△ABC的面積最大即可，
從而可得當(dāng)點(diǎn)C位于弧AB的中點(diǎn)時，△ABC的面積最大，
則OC⊥AB，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
∵OA=CO=BO=2，
∴△AOC和△BOC是等邊三角形，
∴AC=BC=2，
∴EC=1，則EO=

3

，
故S_△AOC=

1

2

×AC×EO=

1

2

×2×

3

=

3

，
故弓形AC的面積為：S_扇形AOC-S_△AOC=

60π×22

360

-

3

=

2π

3

-

3

，
可得S_陰影=2（S_扇形AOC-S_△AOC）=

4π

3

-2

3

．
故答案為：

4π

3

-2

3

．

點(diǎn)評：本題考查了扇形的面積計算及動點(diǎn)問題，解答本題的關(guān)鍵是判斷出點(diǎn)C的位置，有一定難度．