Question

1．已知拋物線C₁：y=x²-4x+3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，點P在對稱軸上．點Q在第一象限的拋物線上，且以B、C、P為頂點三角形與以B、C、Q為頂點三角形全等．求Q點坐標．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線解析式求出A、B、C三點的坐標，觀察P、B兩點坐標，可以得出兩點縱坐標差1，且P、Q兩點關(guān)于直線BC對稱，根據(jù)直線解析式設(shè)出點Q的坐標，將Q坐標帶入拋物線解析式即可求出點Q坐標．

解答 解：∵y=x²-4x+3=（x-3）（x-1）
∴y=0時，可得x₁=1，x₂=3；x=0時，y=3；對稱軸為：x=$-\frac{-4}{2×1}=2$
∴點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（3，0），點C的坐標為（0，3）
∵點P在對稱軸上，點Q在第一象限的拋物線上，設(shè)點P的坐標為（2，y），點Q的坐標為（x，x²-4x+3），
∴P、B兩點橫坐標差1，
∵以B、C、P為頂點三角形與以B、C、Q為頂點三角形全等，
∴點Q縱坐標為1，且點P、Q關(guān)于直線BC對稱，
∴設(shè)直線PQ解析式為y=kx+b，
當(dāng)y=1，x=1-b，
∵點Q在拋物線上，
∴1=（1-b）²-4（1-b）+3，
解得：b=-1-$\sqrt{2}$，或b=-1+$\sqrt{2}$，
∵b＜0，
∴b=-1-$\sqrt{2}$，
∴直線PQ解析式為：y=x-1-$\sqrt{2}$，
當(dāng)x=2時，y=1-$\sqrt{2}$，
∴點P坐標為（2，1-$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，題目以二次函數(shù)為框架，考察全等三角形，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識點，題目的關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形找出點Q的坐標特征，進而求出點Q的坐標．題目整體設(shè)計較難，考查學(xué)生的解決問題的能力．