Question

如圖1，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠B．
（1）求證：△ADF∽△DEC．
（2）若AB=5，AD=3

3

，AE=3，求AF的長(zhǎng)．
（3）在（2）的條件下，建立如圖2所示的直角坐標(biāo)系，在x軸上是否存在一點(diǎn)P，（P點(diǎn)不與B、C重合），使得由點(diǎn)P、A、E組成的三角形與△ABE相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）由平行四邊形的性質(zhì)可得到∠B+∠C=180°，而∠AFE+∠AFD=180°，結(jié)合條件可知∠AFD=∠C，由AD∥BC可得∠ADF=∠DEC，可證得△ADF∽△DEC；
（2）在Rt△ABE中可求得BE，則可求出EC，再利用（1）中相似可得到對(duì)應(yīng)邊成比例，代入可求得AF；
（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），則有△PAE∽△BAE或△PAE∽△ABE，再利用相似比得到關(guān)于x的方程，求出x并進(jìn)行檢驗(yàn)可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ADF=∠DEC，∠B+∠C=180°，
∵∠AFE=∠B，
∴∠AFE+∠C=180°，且∠AFE+∠AFD=180°，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠EAD=90°，AE=3，AD=3

3

在Rt△ADE中，可求得DE=6，
又∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD=AB=5，
由（1）可知△ADF∽△DEC，
∴

AF

CD

=

AD

DE

，即

AF

5

=

3 3

6

，
解得AF=

5 3

2

；
（3）解：假設(shè)存在滿足條件P點(diǎn)，設(shè)其坐標(biāo)為（x，0），則PE=|x|，
由（2）可知AB=5，AE=3，在Rt△ABE中可求得BE=4，
∵∠AEB=90°，
∴∠AEP=∠AEB=90°，
∴△ABE和△APE相似只能有兩種情況，即△PAE∽△BAE或△PAE∽△ABE，
當(dāng)△PAE∽△BAE時(shí)，則有

PE

BE

=

AE

AE

=1，即PE=BE，
∴|x|=4，解得x=4或x=-4（與B重合，舍去），此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）；
當(dāng)△PAE∽△ABE時(shí)，則有

PE

AE

=

AE

BE

，即

|x|

3

=

3

4

，可得|x|=

9

4

，解得x=

9

4

或x=-

9

4

，與B、C兩點(diǎn)都不重合，
此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（

9

4

，0）或（-

9

4

，0）；
綜上可知存在使由點(diǎn)P、A、E組成的三角形與△ABE相似的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（4，0）或（

9

4

，0）或（-

9

4

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)及下行四邊形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用，掌握相似三角形的判定方法是關(guān)鍵，注意角相等的尋找．在（3）中只知相似但沒說對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵，注意利用線段長(zhǎng)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系．