Question

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=$\frac{1}{2}$x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)D為直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)；
①連接BC、CD，設(shè)直線BD交線段AC于點(diǎn)E，△CDE的面積為S₁，△BCE的面積為S₂，求$\frac{S_1}{S_2}$的最大值；
②過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F，連接CD，是否存在點(diǎn)D，使得△CDF中的某個(gè)角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得到A（-4，0），C（0，2）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c，于是得到結(jié)論；
（2）①如圖，令y=0，解方程得到x₁=-4，x₂=1，求得B（1，0），過(guò)D作DM⊥x軸于M，過(guò)B作BN⊥x軸交于AC于N，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
②根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形，取AB的中點(diǎn)P，求得P（-$\frac{3}{2}$，0），得到PA=PC=PB=$\frac{5}{2}$，過(guò)D作x軸的平行線交y軸于R，交AC的延線于G，情況一：如圖，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，情況二，∠FDC=2∠BAC，解直角三角形即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）根據(jù)題意得A（-4，0），C（0，2），
∵拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-\frac{1}{2}×16-4b+c}\\{2=c}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2；
（2）①如圖，令y=0，
∴-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2=0，
∴x₁=-4，x₂=1，
∴B（1，0），
過(guò)D作DM⊥x軸交AC于點(diǎn)M，過(guò)B作BN⊥x軸交于AC于N，
∴DM∥BN，
∴△DME∽△BNE，
∴$\frac{S_1}{S_2}$=$\frac{DE}{BE}$=$\frac{DM}{BN}$，
設(shè)D（a，-$\frac{1}{2}$a²-$\frac{3}{2}$a+2），
∴M（a，$\frac{1}{2}$a+2），
∵B（1，0），
∴N（1，$\frac{5}{2}$），
∴$\frac{S_1}{S_2}$=$\frac{DM}{BN}$=$\frac{-\frac{1}{2}{a}^{2}-2a}{\frac{5}{2}}=-\frac{1}{5}$（a+2）²+$\frac{4}{5}$；
∴當(dāng)a=-2時(shí)，$\frac{S_1}{S_2}$的最大值是$\frac{4}{5}$；
②∵A（-4，0），B（1，0），C（0，2），
∴AC=2$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{5}$，AB=5，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形，取AB的中點(diǎn)P，
∴P（-$\frac{3}{2}$，0），
∴PA=PC=PB=$\frac{5}{2}$，
∴∠CPO=2∠BAC，
∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）=$\frac{4}{3}$，
過(guò)D作x軸的平行線交y軸于R，交AC的延長(zhǎng)線于G，
情況一：如圖，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，
∴∠CDG=∠BAC，
∴tan∠CDG=tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{RC}{DR}=\frac{1}{2}$，
令D（a，-$\frac{1}{2}$a²-$\frac{3}{2}$a+2），
∴DR=-a，RC=-$\frac{1}{2}$a²-$\frac{3}{2}$a，
∴$\frac{-\frac{1}{2}{a}^{2}-\frac{3}{2}a}{-a}=\frac{1}{2}$，
∴a₁=0（舍去），a₂=-2，
∴x_D=-2，
情況二，∴∠FDC=2∠BAC，
∴tan∠FDC=$\frac{4}{3}$，
設(shè)FC=4k，
∴DF=3k，DC=5k，
∵tan∠DGC=$\frac{3k}{FG}$=$\frac{1}{2}$，
∴FG=6k，
∴CG=2k，DG=3$\sqrt{5}$k，
∴RC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$k，RG=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$k，
DR=3$\sqrt{5}$k-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$k=$\frac{11\sqrt{5}}{5}$k，
∴$\frac{DR}{RC}$=$\frac{\frac{11\sqrt{5}}{5}k}{\frac{2\sqrt{5}}{5}k}$=$\frac{-a}{-\frac{1}{2}{a}^{2}-\frac{3}{2}a}$，
∴a₁=0（舍去），a₂=-$\frac{29}{11}$，
點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-2或-$\frac{29}{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．