Question

20．如圖1，將1張菱形紙片ABC的（∠ADC＞90°）沿對角線BD剪開，得到△ABD和△BCD．再將△BCD以D為旋轉中心，按逆時針方向旋轉角α，使α=∠ADB，得到如圖2所示的△DB′C，連接AC、BB′，∠DAB=45°，有以下結論：①AC=BB′；②AC⊥AB；③∠CDA=90°；④BB′=$\sqrt{3}$AB，其中正確結論的序號是①②③．（把所有正確結論的序號都填在橫線上）

Answer 1

分析 如圖1，先利用菱形的性質得AB=BC=CD=AD，∠A=∠C=45°，則利用等腰三角形的性質和三角形內角和可計算出∠ADB=∠ABD=67.5°，則α=2∠ADB=135°；如圖2，利用旋轉的性質得到DB=DB′，DC=DA，CB′=AB，∠7=∠3=67.5°，∠6=135°，則可計算出∠4=∠5=22.5°，所以∠ABB′=∠BB′C=90°，則可證明四邊形ABB′C為矩形，于是可對①②進行判斷；然后證明△ADC為等腰直角三角形，則可對③④進行判斷．

解答 解：如圖1，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C=45°，
∴∠ADB=∠ABD=67.5°，
∴α=2∠ADB=135°，
如圖2，
∵將△BCD以D為旋轉中心，按逆時針方向旋轉角135°，
∴DB=DB′，DC=DA，CB′=AB，∠7=∠3=67.5°，∠6=135°，
在△DBB′中，∠4=∠5=$\frac{1}{2}$（180°-135°）=22.5°，
∴∠ABB′=∠3+∠4=90°，∠BB′C=∠5+∠7=90°，
∴AB∥CB′，
而AB=CB′，
∴四邊形ABB′C為矩形，
∴AC=BB′，AC⊥AB，所以①②正確，
∵∠CAB=90°，∠1=45°，
∴∠CAD=45°，
而DC=DA，
∴△ADC為等腰直角三角形，
∴∠CDA=90°；BB′=$\sqrt{2}$AB，所以③正確，④錯誤．
故答案為①②③．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了矩形的判定與性質和菱形的性質．