Question

如圖，已知∠ABC=90°，點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合），分別以AB、AP為邊在∠ABC的內(nèi)部作等邊△ABE和△APQ，連接QE并延長(zhǎng)交BP于點(diǎn)F．試說(shuō)明：（1）△ABP≌△AEQ；（2）EF=BF．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：幾何圖形問(wèn)題,證明題

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以得出AB=AE，AP=AQ，由等式的性質(zhì)就可以得出∠BAP=∠EAQ，就可以得出結(jié)論；
（2）由△ABP≌△AEQ就可以得出∠ABP=∠AEQ=90°，進(jìn)而可以得出∠FBE=FEB=30°，就可以得出EF=BF；

解答：解：（1）∵△ABE和△APQ是等邊三角形，
∴AB=AE，AP=AQ，∠BAE=∠PAQ=∠ABE=∠AEB=60°，
∴∠BAE-∠PAE=∠PAQ-∠PAE，
∴∠BAP=∠EAQ．
在△ABP和△AEQ中，

AB=AE ∠BAP=∠EAQ AP=AQ

，
∴△QAE≌△PAB（SAS）；

（2）∵△QAE≌△PAB
∴∠ABP=∠AEQ=90°．
∴∠AEF=90°，
∴∠ABP=∠AEF
∴∠ABP-∠AEB=∠AEF-∠ABE，
∴∠BEF=∠EBF，
∴BF=EF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，等式的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．